\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=2x^2+3x-9$ et $v(x)=3-x$.\\
Donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=4x+3$ et $v'(x)=-1$. D'o\`u :
\begin{align*}
f'(x) & =\frac{(4x+3)(3-x)-(2x^2+3x-9)\times(-1)}{(3-x)^2}\\
&  = \frac{12x-4x^2+9-3x+2x^2+3x-9}{(3-x)^2}\\
& =\frac{-2x^2+12x}{(3-x)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{2x(-x+6)}{(3-x)^2}} \qquad\text{(toujours mettre $f'(x)$ sous la forme factorisée)}
\end{align*}
D'o\`u le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.5,color,colorV=violet!10,colorL=violet!10,colorC=violet!10]{$x$ / .7 ,	$2x$ / .7, $-x+6$/.7 , $f'(x)$/.7, $f(x)$/1}{ $-\infty$ , $0$ , $3$, $6$, $+\infty$ }
\tkzTabLine{ , - , z , + , d , + ,   , + , }
\tkzTabLine{ , + ,   , + , d , + , z , - , }
\tkzTabLine{ , - , z , + , d , + , z , - , }
\tkzTabVar{+/ ,-/$-3$,+D-/ / ,+/$-27$,-/ }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $f(x)=0 \Longleftrightarrow 2x^2+3x-9=0$. Le discriminant du polyn\^ome de degr\'e 2 est : 

\[\Delta = 9-4\times 2\times (-9)=9+72=81>0.\]

Donc il existe deux solutions :
\[ x_1=\frac{-3-\sqrt{81}}{4}=-3\qquad ; \qquad x_2=\frac{-3+\sqrt{81}}{4}=\frac{3}{2}.\]
\underline{Ainsi, les deux solutions de l'\'equation $f(x)=0$ sont $-3$ et $\dfrac{3}{2}$.}

\item La formule donnant l'\'equation r\'eduite de la tangente au point d'abscisse $a$ est : \[ y=f'(a)(x-a)+f(a).\]
Ici, $a=1$, $f'(1)=\dfrac{2\times (-1+6)}{(3-1)^2}=\dfrac{5}{2}$ et $f(1)=-2$ d'o\`u :
\[ (\mathcal{T})\ :\ y=\frac{5}{2}(x-1)-2 \qquad \textrm{soit :} \qquad \boxed{(\mathcal{T})\ :\ y=\frac{5}{2}x-\frac{9}{2}}\]

\item Supposons qu'il existe un point M($x$,$f(x)$) de $\mathcal{C}$ en lequel la tangente est parall\`ele \`a $\mathcal{T}$. Alors, $f'(x)=\dfrac{5}{2}$ (en effet, si deux droites sont parall\`eles, alors elles ont le m\^eme coefficient directeur).\\
Il faut donc r\'esoudre l'\'equation $f'(x)=\dfrac{5}{2}$, soit : 
\begin{align*}
\dfrac{-2x^2+12x}{(3-x)^2}=\frac{5}{2} & \iff (-2x^2+12x)\times 2 = 5(3-x)^2
                                      & \iff -4x^2+24x=5(9-6x+x^2
									  & \iff -4x^2+24x=45-30x+5x^2
									  & \iff 9x^2-54x+45=0\\
									  & \iff x^2-6x+5=0.
\end{align*}
Le discriminant du polyn\^ome de degr\'e 2 est : 
\[
\Delta=36-20=16
\]
d'o\`u deux solutions :
\[ x_1=\frac{6-4}{2}=1\qquad ; \qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5. \]
Il existe donc bien un autre point en lequel la tangente est parall\`ele \`a $\mathcal{T}$ ; il s'agit du point d'abscisse 5 et donc d'ordonn\'ee $f(5)=-28$.

\medskip

\underline{La tangente \`a $\mathcal{C}$ au point M(5;$-28$) est donc parall\`ele \`a $\mathcal{T}$.}
\end{enumerate}