

Le point d'inflexion est atteint lorsque $f''(x)$ s'annule en changeant de signe.
\begin{align*}
f''(x)\geqslant0 & \iff 2\ln(x)-3 \geqslant 0\\
& \iff 2\ln(x)\geqslant3\\
& \iff \ln(x) \geqslant \dfrac{3}{2}\\
& \iff x \geqslant \e^{3/2}.
\end{align*}
On en d\'eduit alors que :
\begin{itemize}
\item $f''(x)\geqslant0$ pour $x\geqslant\e^{3/2}$ donc $f$ est convexe sur \intervOO{\e^{3/2}}{+\infty} ;
\item $f''(x)\leqslant0$ pour $x\leqslant\e^{3/2}$ donc $f$ est concave sur \intervOO{0}{\e^{3/2}} ;
\item $f''(x)$ s'annule en changeant de signe quand $x=\e^{3/2}$ donc l'abscisse du point d'inflexion $I$ est $\e^{3/2}$.
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.15]
\draw[gray,dashed] (0,-25) grid[xstep=1,ystep=5] (10,5);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,-25) -- (0,5);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,0) -- (10,0);
\foreach\x in {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{
	\draw[thick] (\x,0.6) -- (\x,-0.6) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {-25,-20,-15,-10,-5,5}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\draw[very thick,violet] plot[domain=0.01:10,samples=100] (\x,{\x*\x*ln(\x)-3*\x*\x+5*\x-1});
\draw[<-,red,dotted,>=latex] ({exp(1.5)},0) node[above] {$\e^{3/2}$} -- ({exp(1.5)},{exp(1.5)*exp(1.5)*1.5-3*exp(3)+5*exp(1.5)-1});
\fill[red] ({exp(1.5)},{exp(1.5)*exp(1.5)*1.5-3*exp(3)+5*exp(1.5)-1}) circle[x radius=2pt, y radius=12pt] node[below] {$I$};
\end{tikzpicture}
\end{center}