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\exercice[style=A,N=1,verif]{Fonction $x^2\ln(x)-3x^2+5x-1$}

On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur \intervOO{0}{+\infty} par :
\[
f(x)=x^2\ln(x)-3x^2+5x-1.
\]
On admet que sa d\'eriv\'ee seconde est :
\[
f''(x)=2\ln(x)-3.
\]
(cette fonction a \'et\'e \'etudi\'ee dans l'{\color{\colorExTitle}\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\selectfont Exercice 9} du chapitre \og Logarithme n\'ep\'erien \fg)

\bigskip

Sa courbe repr\'esentative est la suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.15]
\draw[gray,dashed] (0,-25) grid[xstep=1,ystep=5] (10,5);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,-25) -- (0,5);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,0) -- (10,0);
\foreach\x in {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{
	\draw[thick] (\x,0.6) -- (\x,-0.6) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {-25,-20,-15,-10,-5,5}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\draw[very thick,violet] plot[domain=0.01:10,samples=100] (\x,{\x*\x*ln(\x)-3*\x*\x+5*\x-1});
\end{tikzpicture}
\end{center}

D\'eterminer la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion de cette courbe et pr\'eciser alors la convexit\'e de la fonction $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.