\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item La courbe repr\'esentative de $f'$ coupe d'axe des abscisses en $x=-2$ donc :
\[
\boxed{f'(x)=0 \iff x=-2}
\]
\item $f''$ est la d\'eriv\'ee de $f'$, donc $f''(x)=0$ signifie que ${\cal C}_{f'}$  admet une tangente horizontale, ce qui est le cas au point d'abscisse $x=-1$.
\[
\boxed{f''(x)=0 \iff x=-1}
\]
\item $f''(0)$ correspond au coefficient directeur de la tangente \`a ${\cal C}_{f''}$ au point d'abscisse 0, donc de $\cal T$.

Les points de coordonn\'ees \coord{0}{1} et \coord{2}{0} sont sur $\cal T$ donc son coefficient directeur est :
\[
\dfrac{0-1}{2-0}=-\dfrac{1}{2}.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{f''(0)=-\dfrac{1}{2}}
\]
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $f'(x)\leqslant0$ sur \intervFF{-3}{-2} et $f'(x)\geqslant0$ sur \intervFF{-2}{4} donc $f$ est d\'ecroissante sur \intervFF{-3}{-2} et croissante sur \intervFF{-2}{4}. Il n'y a donc qu'une courbe possible pour $f$ (la 1\iere{} propos\'ee) :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[gray,dashed] (-3,-3) grid (4,2);
\draw[->] (-3,0) -- (4,0);
\draw[->] (0,-3) -- (0,2);
\foreach\x in {-3,-2,-1,1,2,3}
{
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {$\x$};
}
\foreach\y in {-3,-2,-1,1,2}
{
\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\clip (-3,-3) rectangle (4,2);
\draw[thick,violet] plot[domain=-3:4,samples=100] (\x,{-.5*(\x+3)*exp(-\x)+0.5*exp(2)-1});
\end{tikzpicture}
\end{center}

De plus, $f'$ est croissante sur \intervFF{-3}{-1} et d\'ecroissante sur \intervFF{-1}{4} donc $f''(x)\geqslant0$ sur \intervFF{-3}{-1} et $f''(x)\leqslant0$ sur \intervFF{-1}{4}. Il n'y a donc qu'une courbe possible pour $f''$ (la 3\ieme) :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[gray,dashed] (-3,-3) grid (4,2);
\draw[->] (-3,0) -- (4,0);
\draw[->] (0,-3) -- (0,2);
\foreach\x in {-3,-2,-1,1,2,3}
{
\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {$\x$};
}
\foreach\y in {-3,-2,-1,1,2}
{
\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {$\y$};
}
\clip (-3,-3) rectangle (4,2);
\draw[thick,violet] plot[domain=-3:4,samples=100] (\x,{-.5*(\x+1)*exp(-\x)});
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $f$ est convexe quand $f''(x)\geqslant0$, donc sur \intervFF{-3}{-1} d'apr\`es la question pr\'ec\'edente.

Elle est donc concave sur \intervFF{-1}{4}.

\item ${\cal C}_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $x=-1$ car $f''(x)$ s'annule en changeant de signe en $x=-1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}