\exercice[style=A,N=3,verif]{La rumeur}

Lors de la propagation d'une rumeur, le nombre d'individus propageant cette rumeur $x$ jours apr\`es son commencement est donn\'e, en unit\'e, par la fonction :
\[
f(x)=100+x^4\e^{-0,1x} \qquad \text{pour } x \in\intervFF{0}{50}.
\]
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer le nombre d'individus propageant cette rumeur initialement.
\item 
\begin{enumerate}
\item Prouver que $f'(x)=x^3(4-0,1x)\e^{-0,1x}$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur \intervFF{0}{50}
\end{enumerate}

\item Dans cette question, on admet que la d\'eriv\'ee seconde de $f$ est :
\[
f''(x)=x^2\e^{-0,1x}\big(0,01x^2-0,8x+12\big).
\]
\'Etudier la convexit\'e de la fonction $f$ sur \intervFF{0}{50}.
\item En d\'eduire :
\begin{enumerate}
\item le nombre de jours qu'il faut attendre avant que le nombre d'individus propageant cette rumeur diminue (arrondi \`a l'unit\'e);
\item le nombre maximum d'individus propageant cette rumeur (arrondi \`a l'unit\'e);
\item le nombre de jours qu'il faut attendre avant que la croissance du nombre d'individus propageant cette rumeur diminue.
\end{enumerate}
\end{enumerate}