\partie{A}

\begin{enumerate}
\item $g'(x)=3\e^{x}-1$.

\item $\begin{aligned}[t]
g'(x)>0 & \iff 3\e^{x}-1>0\\
        & \iff \e^{x} >\dfrac{1}{3}\\
		& \iff x > \ln\dfrac{1}{3}\\
		& \iff x >-\ln 3
\end{aligned}$

d'o\`u le tableau de variation suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2,color,colorV=violet!10,colorL=violet!10,colorC=violet!10]{$x$/0.8, $g'(x)$/.8, $g(x)$/1.5}{$-\infty$,$-\ln 3$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/$g(-\ln3)$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $g(-\ln 3)=3\e^{\ln\frac{1}{3}}+1+\ln 3=2+\ln 3>0$.

Ainsi, \underline{$g(x)>0$ sur \R}.
\end{enumerate}


\partie{B}

\begin{enumerate}
\item Calculons $f'(x)$ : $f(x)$ est la somme de $a(x)=3x+1$ et $b(x)=x\e^{-x}$. 

On sait que $a'(x)=3$. De plus, $b(x)$ est de la forme $u(x) \times v(x)$ avec :
\[
\begin{array}{l@{\qquad\qquad}l}
u(x)=x & u'(x)=1\\
v(x)=\e^{-x} & v'(x)=-\e^{-x}
\end{array}
\]
Ainsi,

\begin{align*}
b'(x) & = 1\times\e^{-x} -x\e^{-x}\\
	  & = (1-x)\e^{-x}.
\end{align*}
On peut alors \'ecrire :
\begin{align*}
f'(x) & = 3 + (1-x)\e^{-x}\\
      & = 3 + \dfrac{1-x}{\e^x}\\
	  & = \dfrac{3\e^{x}+1-x}{\e^x}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{g(x)}{\e^x}}
\end{align*}


\item On sait que $g(x)>0$  sur $\R$ (d'apr\`es la partie A) donc $f'(x)>0$ sur $\R$. Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $\R$.

\item $f(-1)=-2-\e<0$ et $f(0)=1>0$.\\
De plus, $f$ est strictement croissante et d\'erivable sur $]-1;0[$ donc, d'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe un unique r\'eel $\alpha$ dans $]-1;0[$ tel que $f(\alpha)=0$.\\
La calculatrice nous aide \`a trouver : \underline{$\alpha \approx -0,23$}.

\item La formule donnant l'\'equation r\'eduite d'une tangente au point d'abscisse $x=a$ est :\[y=f'(a)(x-a)+f(a).\]
Donc, pour $a=0$, on a : \[y=f'(0)x+f(0)\;, \] 
soit : \[ \boxed{\mathcal{T}\ :\ y=4x+1}\]
\end{enumerate}

\newpage

\partie{C}

\begin{enumerate}
\item Voir graphique ci-dessous.
\item Voir graphique ci-dessous.
\item 
\begin{enumerate}
\item La d\'eriv\'ee de $R(x)$ est :
\begin{align*}
R'(x) & = -\e^{-x}-(x+1)(-\e^{-x})\\
      & = -\e^{-x}+x\e^{-x}+\e^{-x}\\
	  & = x\e^{-x}\\
	  & = r(x).
\end{align*}

Ainsi, \underline{$R$ est une primitive de $r$}.

\item $\mathcal{A}(\lambda)$ est l'aire entre $\cal C$ (courbe repr\'esentative de $f$) et $\cal D$ (d'\'equation $y=3x+1$) sur l'intervalle \intervOO{0}{\lambda}.

Sur cet intervalle, $f(x)\geqslant 3x+1$ car $f(x)-(3x+1)=x\e^{-x}\geqslant0$. Ainsi, $\mathcal{A}(\lambda)$ se calcule par l'int\'egrale suivante :
\begin{align*}
\mathcal{A}(\lambda) & = \dint_0^\lambda \big(f(x)-(3x+1)\big)\dx\\
                     & = \dint_0^\lambda r(x)\dx\\
					 & = R(\lambda)-R(0)\\
					 & = -(\lambda+1)\e^{-\lambda}-(-1)\\
\Aboxed{\mathcal{A}(\lambda) & = 1-(\lambda+1)\e^{-\lambda}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=5]
\draw[gray!25,xstep=0.2,ystep=0.5] (-1,-2) grid (2,8);
\draw[->,>=stealth'] (-1.1,0) -- (2.1,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-2.5) -- (0,8.5);
\node[below left] at (0,0) {0};
\foreach \x in {-1,1,2}
	\draw (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {\x};
\foreach \y in {-2,-1,1,2,...,8}
	\draw (0.02,\y) -- (-.02,\y) node[left] {\y};
\clip (-1,-2) rectangle (2,8);
\fill[pattern color=green!50!black,pattern=north east lines] (0,1) plot[domain=0:1,samples=50] (\x,{3*\x+1+\x*exp(-\x)}) -- (1,4) -- cycle;
\draw[red,thick] plot[domain=-1:2,samples=50] (\x,{3*\x+1+\x*exp(-\x)}) node[above left] {$\mathcal{C}$};
\draw[blue,thick] plot[domain=-1:2] (\x,{3*\x+1}) node[below left,inner ysep=.8cm] {$\mathcal{D}$};
\draw[purple,thick] plot[domain=-1:2] (\x,{4*\x+1});
\node[purple] at(1.8,7.8) {$\mathcal{T}$};
\node[green!50!black] (a) at (1.2,2.5) {$\mathcal{A}(1)$};
\draw[green!50!black,->,>=stealth',thick] (a) to[bend left=30] (0.6,3);
\fill[red] (0,1) circle [x radius=0.4pt,y radius=2pt] node[below right] {A};
\end{tikzpicture}
\end{center}