\exercice[style=R,N=4]{\'Etude de la fonction $3x+1+x\e^{-x}$ (type bac)}

{\color{red}\bfseries Attention : cet exercice n\'ecessite la connaissance du logarithme n\'ep\'erien et de l'int\'egrale.}

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\partie{A}

On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie sur $\R$ par $g(x)=3\e^{x}+1-x$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la d\'eriv\'ee $g'(x)$ de $g(x)$.
\item D\'eterminer le signe de $g'(x)$ puis les variations de $g$  sur $\R$.
\item Calculer $g\left(-\ln 3\right)$. En d\'eduire le signe de $g(x)$ sur $\R$.
\end{enumerate}

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\partie{B}

On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par $f(x)=3x+1+x\e^{-x}$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonorm\'e \Rij{} (on prendra comme unit\'es : 5 cm en abscisses et 2 cm en ordonn\'ees).

\begin{enumerate}
\item Montrer que la d\'eriv\'ee de $f(x)$ est : $f'(x)=\dfrac{g(x)}{\e^{x}}$, o\`u $g$ est la fonction introduite dans la partie A.
\item En d\'eduire le sens de variation de $f$ sur $\R$.
\item Montrer que l'\'equation $f(x)=0$ admet une unique solution sur \intervOO{-1}{0}.

On notera $\alpha$ cette valeur. Donner une valeur approch\'ee de $\alpha$ \`a $10^{-2}$ pr\`es.
\item On note $\mathcal{T}$ la tangente \`a $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. Donner l'\'equation r\'eduite de $\mathcal{T}$.
\end{enumerate}

\partie{C}

Soit la droite $\cal D$ d'\'equation $y=4x+1$.

On note $\mathcal{A}(\lambda)$ l'aire du domaine $\Delta$ d\'elimit\'e par $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$, le point A\coord{0}{4} et la droite d'\'equation $x=\lambda$.

\begin{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$ dans \Rij.
\item Hachurer $\Delta$ pour $\lambda = 1$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $R$ d\'efinie sur $\R$ par $R(x)=-(x+1)\e^{-x}$ est une primitive de la fonction $r$ d\'efinie par $r(x)=x\e^{-x}$.
\item En d\'eduire l'expression de $\mathcal{A}(\lambda)$ pour $\lambda>0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}