\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\e^{x}=1 & \iff \e^x=\e^0\\
				 & \iff x=0\qquad\text{ d'apr\`es la propri\'et\'e }\e^a=\e^b\iff a=b.
\end{aligned} $

\uline{Donc $\mathscr{S}=\{0\}$}

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{2x}=\e^{-x+6} & \iff 2x=-x+6 \qquad\text{ d'apr\`es la propri\'et\'e }\e^a=\e^b\iff a=b.\\
				  & \iff 3x=6\\
				  & \iff x=2.
\end{aligned} $

\uline{Donc $\mathscr{S}=\{2\}$}

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{2x}-2\e^x+1=0 & \iff \big(\e^x\big)^2-2\e^x+1=0\\
									& \iff \big(\e^x-1\big)^2=0\quad\text{ en utilisant l'\'egalit\'e } a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\\
									& \iff \e^x-1=0\\
									& \iff \e^x=1\\
									& \iff \e^x=\e^0\\
									& \iff x=0.
\end{aligned} $

\uline{Donc $\mathscr{S}=\{0\}$}

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{x^2}=\e^{3x-2} & \iff x^2=3x-2\\
				   & \iff x^2-3x+2=0
\end{aligned}$

Le discriminant du polyn\^ome $x^2-3x+2$ est :
\[ \Delta = (-3)^2-4\times1\times2=9-8=1>0\]
donc il y a deux solutions \`a l'\'equation :
\[
x_1=\dfrac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\times1}=1
\]
et
\[
x_2=\dfrac{-(-3)+\sqrt{1}}{2\times1}=2.
\]
\uline{Donc $\mathscr{S}=\{1~;~2\}$}

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{2x}=\e^{x^2+3} & \iff 2x=x^2+3\\
									 & \iff x^2-2x+3=0.
\end{aligned} $

Le discriminant du polyn\^ome $x^2-2x+3$ est :
\[ \Delta=(-2)^2-4\times1\times3=4-12=-8<0.\]
Par cons\'equent, l'\'equation n'admet aucune solution et donc \uline{$\mathscr{S}=\varnothing$}.

\item $\e^{3x-1}=-\e^{x^2+1}$.

Une exponentielle \'etant toujours strictement positive, cette \'equation ne peut pas avoir de solution car $\e^{3x-1}>0$ et $-\e^{x^2+1}<0$.

\uline{Donc $\mathscr{S}=\varnothing$.}
\end{enumerate}