\begin{enumerate}
\item $\e^x<1 \iff \e^x<\e^0 \iff x<0$ d'apr\`es la propri\'et\'e : $\e^a<\e^b \iff a<b$.

\uline{Donc $\mathscr{S}=\intervOO{-\infty}{0}$}

\item $\e^{3x+1}<\e^{2x-1} \iff 3x+1<2x-1 \iff x<-2$.

\uline{Donc $\mathscr{S}=\intervOO{-\infty}{-2}$}

\item $\begin{aligned}[t]
\e^{x^2-x-3}\leqslant\sqrt{\e} & \iff \e^{x^2-x-3}\leqslant\e^{\frac{1}{2}}\\
& \iff x^2-x-3\leqslant\dfrac{1}{2}\\
& \iff x^2-x-\dfrac{7}{2}\leqslant0\\
& \iff 2x^2-2x-7\leqslant0\qquad \text{ en multipliant tout par 2}.
\end{aligned}$

Le discriminant du polyn\^ome $2x^2-2x-7$ est :
\[ \Delta=4+56=60>0\]
donc il admet deux racines distinctes :
\[
x_1=\dfrac{2-\sqrt{60}}{4}=\dfrac{2-2\sqrt{15}}{4}=\dfrac{1-\sqrt{15}}{2}
\]
et
\[
x_2=\dfrac{1+\sqrt{15}}{2}.
\]
De plus, le trin\^ome est du signe oppos\'e au signe de \og 2 \fg{} \`a l'int\'erieur des racines donc l'ensemble solution de l'in\'equation est :
\[
\boxed{\mathscr{S}=\intervFF{\dfrac{1-\sqrt{15}}{2}}{\dfrac{1+\sqrt{15}}{2}}}
\]

\item $\begin{aligned}[t]
\sqrt{\e}\times\e^{x^2}\geqslant\e^x & \iff \e^{\frac{1}{2}}\times\e^{x^2}\geqslant\e^x\\
& \iff \e^{x^2+\frac{1}{2}}\geqslant\e^x\\
& \iff x^2+\dfrac{1}{2}\geqslant x\\
& \iff x^2-x+\dfrac{1}{2}\geqslant0\\
& \iff 2x^2-2x+1\geqslant0\qquad \text{ en multipliant tout par 2}.
\end{aligned}$

Le discriminant du polyn\^ome $2x^2-2x+1$ est :
\[ \Delta=4-8=-4<0\]
donc il n'admet aucune racine ; par cons\'equent, il est toujours du m\^eme signe que \og 2 \fg, c'est-\`a-dire positif.

\uline{Ainsi, $\mathscr{S}=\R$.} 
\end{enumerate}