\begin{enumerate}
\item $f(x)=\e^{3x+1}$. $f(x)$ est de la forme $\e^{u(x)}$, o\`u $u(x)=3x+1$ et $u'(x)=3$. 

Donc $f'(x)=u'(x)\e^{u(x)}$.

\uline{Ainsi, $f'(x)=3\e^{3x+1}$.}

\item $f(x)=\e^{x^2+1}$. $f(x)$ est de la forme $\e^{u(x)}$, o\`u $u(x)=x^2+1$ et $u'(x)=2x$. 

Donc $f'(x)=u'(x)\e^{u(x)}$.

\uline{Ainsi, $f'(x)=2x\e^{x^2+1}$}

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\item $f(x)=\e^x+3\e^{-x}$ donc \uline{$f'(x)=\e^x-3\e^{-x}$.}

\item $f(x)=\exp\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)$. $f(x)$ est de la forme $\e^{u(x)}$, o\`u $u(x)=2x+\dfrac{1}{x}$ et $u'(x)=2-\dfrac{1}{x^2}$. 

Donc $f'(x)=u'(x)\e^{u(x)}$.

Ainsi, $\boxed{f'(x)=\left(2-\dfrac{1}{x^2}\right)\exp\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)}$

\item $f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-x}}$. $f(x)$ est de la forme $\dfrac{1}{v(x)}$, avec $v(x)=1+\e^{-x}$ et $v'(x)=-\e^{-x}$. 

Donc $f'(x)=-\dfrac{v'(x)}{\big[v(x)\big]^2}$, soit $\boxed{f'(x)=\dfrac{\e^{-x}}{\big(1+\e^{-x}\big)^2}}$

\item $f(x)=(3x-2)\e^{-x}$. $f(x)$ est de la forme $u(x)\times v(x)$ avec :
\[
\begin{array}{l@{\qquad\qquad}l}
u(x)=3x-2 & u'(x)=3\\
v(x)=\e^{-x} & v'(x)=-\e^{-x}
\end{array}
\]
Donc $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$ soit :
\begin{align*}
f'(x) & = 3\e^{-x}+(3x-2)\big(-\e^{-x}\big)\\
		  & = 3\textcolor{red}{\e^{-x}}-(3x-2)\textcolor{red}{\e^{-x}}\\
		  & = \big[3-(3x-2)\big]\textcolor{red}{\e^{-x}}\\
		  & = (3-3x+2)\e^{-x}\\
\Aboxed{f'(x) & = (5-3x)\e^{-x}}		  
\end{align*}

\item $f(x)=\dfrac{(x^2+1)\e^x}{(x^2-1)\e^{-x}}$. 

On peut \'ecrire : $\begin{aligned}[t]
f(x) & = \dfrac{x^2+1}{x^2-1}\times\dfrac{\e^{x}}{\e^{-x}}\\
		 & = \dfrac{x^2+1}{x^2-1}\e^{2x}.
\end{aligned}$

Donc $f(x)$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$ et $v(x)=\e^{2x}$.

$u'(x)= \dfrac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}= \dfrac{-4x}{(x^2-1)^2}$.

$v'(x)=2\e^{2x}$.

Ainsi, $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = \dfrac{-4x}{(x^2-1)^2}\e^{2x}+2\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\e^{2x}\\
& = \left(\dfrac{-4x}{(x^2-1)^2}+2\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\right)\e^{2x}\\
& = \dfrac{-4x+2(x^2+1)(x^2-1)}{(x^2-1)^2}\e^{2x}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{2x^4-4x-2}{(x^2-1)^2}\e^{2x}}
\end{aligned}$\label{deriveq7ex4}
\end{enumerate}

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