
$f'(x)$ est du signe de $2x^4-4x-2$, soit en factorisant par 2, du polyn\^ome $u(x)=x^4-2x-1$.
\[
u'(x)=4x^3-2\qquad\text{et}\qquad u''(x)=12x^2
\]
donc $u''(x)\geqslant0$ pour tout réel $x$, ce qui signifie que $u'$ est strictement croissante.

\medskip

$u'(0)=-2<0$ et $u'(1)=2>0$. $u'$ \'etant continue et strictement monotone sur \intervFF{0}{1}, d'apr\`es le corollaire du th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe une unique valeur $\alpha$ sur \intervFF{0}{1} telle que $u'(\alpha)=0$. On a donc :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[%
				lgt=3,%
				deltacl=0.5,%
				espcl=2,%
				color,%
				colorV=violet!10,%
				colorL=violet!10,%
				colorC=violet!10]
				{$x$/0.8, $u'(x)$/.8, $u(x)$/1.5}
				{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/$u(\alpha)$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\`A l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha\approx0,794$ et $u(\alpha)\approx-2,2$.

Il existe donc deux valeurs $x_1$ et $x_2$ solutions de l'\'equation $u(x)=0$, l'une sur \intervOO{-\infty}{\alpha} et l'autre sur \intervOO{\alpha}{+\infty}.

On trouve \`a l'aide de la calculatrice $x_1\approx-0,475$ et $x_2\approx1,395$. On a alors :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[%
				lgt=3,%
				deltacl=0.5,%
				espcl=2,%
				color,%
				colorV=violet!10,%
				colorL=violet!10,%
				colorC=violet!10]
				{$x$/0.8, $f'(x)$/.8, $f(x)$/1.5}
				{$-\infty$,$-1$,$x_1$,1,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,z,-,d,-,z,+}
\tkzTabVar{-/,+D-/~/,+/$\approx-{0,6}$,-D+/~/,-/$\approx50$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}