\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\dfrac{1}{v}$ donc $f'$ sera de la forme $-\dfrac{v'}{v^2}$ et donc :
\[
f'(t) = \dfrac{0,5\e^{-0,5t}}{\big(1+\e^{-0,5t}\big)^2}.
\]
Ainsi $f'(t)>0$ pour tout r\'eel $t$, donc \`a plus forte raison pour $t\geqslant0$.

\uline{$f$ est donc croissante sur $\intervFO{0}{+\infty}$.}

\item Nous cherchons ici \`a savoir si l'\'equation $f(t)=0,9$ admet une solution sur $\intervFO{0}{+\infty}$.

$f(4)\approx0,88$ et $f(5)\approx0,92$, donc $0,9\in\intervFF{f(4)}{f(5)}$. De plus, $f$ est strictement croissante et continue sur \intervFF{4}{5} donc d'apr\`es le corollaire du th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe une unique solution \`a l'\'equation $f(t)=0,9$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$.

\item D'apr\`es les calculs pr\'ec\'edents, $f(t)=0,9$ pour $4<t<5$ donc c'est au cours de l'ann\'ee\linebreak $2015+4=2019$ que le taux d'\'equipement d\'epassera \pourcent{90}.
\end{enumerate}
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