\begin{enumerate}
\item $\alpha$ est la solution de l'\'equation $f(x)=g(x)$.
\begin{align*}
f(x)=g(x) 
& \iff \dfrac{1}{x}=0,5x^2-x+1\\
& \iff 1=0,5x^3-x^2+x\qquad\text{(en multipliant par }x\neq0)\\
& \iff 0,5x^3-x^2+x-1=0
\end{align*}
Posons:
\[
h(x)=0,5x^3-x^2+x-1.
\]
Alors, 
\[
h'(x)=1,5x^2-2x+1.
\]
Le discriminant de $h'(x)$ est :
\[
\Delta=4-6=-2<0
\]
donc $h'(x)$ est toujours du signe de \og 1,5 \fg, soit toujours positif.

Ainsi, $h$ est strictement croissante sur \R.

$h$ est continue et croissante sur \intervFF{1}{2} ; de plus, $h(1)=-0,5<0$ et $h(2)=1>0$ donc\linebreak $0\in\intervOO{h(1)}{h(2)}$.

Par cons\'equent, d'apr\`es le corollaire du th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, l'\'equation $h(x)=0$ admet une unique solution sur \intervFF{1}{2}. C'est cette valeur que l'on note $\alpha$.

\underline{On trouve \`a la calculatrice $\alpha\approx1,54$.}

\item Sur \intervFF{0,25}{\alpha}, $f(x)\geqslant g(x)$ donc l'aire \`a gauche correspond \`a $\dint_{0,25}^\alpha\big[f(x)-g(x)\big]\dx$.
Posons :
\[
u(x)=f(x)-g(x)=\dfrac{1}{x}-\big(0,5x^2-x+1\big)=\dfrac{1}{x}-0,5x^2+x-1.
\]
Une primitive de $u(x)$ est :
\[
U(x)=\ln(x)-0,5\times\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2-x
    =\ln(x)-         \dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{2}x^2-x.
\]
Alors,
\begin{align*}
\dint_{0,25}^\alpha\big[f(x)-g(x)\big]\dx & = U(\alpha)-U(0,25)\\
& \approx -0,53 - (-1,6)\\
& \approx 1,07.
\end{align*}
Sur \intervFF{\alpha}{a}, $g(x)\geqslant f(x)$ donc l'aire \`a droite correspond \`a $\dint_\alpha^a\big[g(x)-f(x)\big]\dx$.

Une primitive de $g(x)-f(x)$ est $-U(x)$ ($U(x)$ ayant \'et\'e calcul\'ee pr\'ec\'edemment) donc :
\begin{align*}
\dint_\alpha^a\big[g(x)-f(x)\big]\dx & = -U(a)-\big(-U(\alpha)\big)\\
& = -\ln(a)+\dfrac{1}{6}a^3-\dfrac{1}{2}a^2+a-0,53
\end{align*}

On cherche \`a d\'eterminer $a$ telle que $\dint_{0,25}^\alpha\big[g(x)-f(x)\big]\dx=\dint_\alpha^a\big[g(x)-f(x)\big]\dx$,c'est-\`a-dire telle que :
\begin{align*}
\dint_{0,25}^\alpha\big[g(x)-f(x)\big]\dx=\dint_\alpha^a\big[g(x)-f(x)\big]\dx & \iff -\ln(a)+\dfrac{1}{6}a^3-\dfrac{1}{2}a^2+a-0,53=1,07\\
& \iff  -\ln(a)+\dfrac{1}{6}a^3-\dfrac{1}{2}a^2+a-1,6=0.
\end{align*}
Bien s\^ur, il est hors de question de r\'esoudre cette \'equation alg\'ebriquement. On prend donc la calculatrice et on lui demande d'afficher les valeurs (par pas de 0,01) de la fonction\linebreak $x\longmapsto-\ln(x)+\dfrac{1}{6}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+x-1,6$ \`a partir de $x=2$ (par exemple) car on peut imaginer que $a>2$ d'apr\`es la repr\'esentation graphique.

\underline{On trouve alors que $a\approx2,85$.}
\end{enumerate}