\exercice[style=R,N=5,verif]{\'Etude de la fonction $1-2\ln x$}

{\bfseries\color{red} Cet exercice n\'ecessite la connaissance des primitives et de l'int\'egration \`a partir de la question 2 de la partie B.}

\bigskip

\partie{A : \'Etude préliminaire}

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle \intervOO{0}{+\infty} par : 
\[g(x) = 1-2\ln(x).\]
On donne page suivante sa courbe représentative $\mathcal{C}_g$ dans un repère orthonormé \Rij.

$\mathcal{C}_g$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $\alpha$.

\newpage

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[step=.5cm,color=gray,dashed] (-0.5,-4) grid (10,5);
\draw[step=1cm,color=gray] (-0.5,-4) grid (10,5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-.5,0) -- (10,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-4) -- (0,5);
\foreach \x in {1,2,...,9}
{
	\draw[thick] (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {\x};
}
\foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
{
	\draw[thick] (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\y};
}
\node[below,scale=.7] at (.5,0) {$\vv{\imath}$};
\node[left,scale=.7] at (0,.5) {$\vv{\jmath}$};
\clip (-.7,-4.5) rectangle +(10.7,9.5);
\draw[thick,purple,domain=0.1:10,samples=100] plot (\x,{1-2*ln(\x)});
\fill[red] (1.65,0) circle (2.5pt) node[above right] {$\alpha$};
\node[purple] at (9.75,-2.75) {$\mathcal{C}_g$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $\alpha$.
\item On admet que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle \intervOO{0}{+\infty}.

Donner, en justifiant, le signe de $g(x)$ sur l'intervalle \intervOO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}

\partie{B : \'Etude d'une fonction}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle \intervOO{0}{+\infty} par :
\[ f(x)=\dfrac{2\ln(x)+1}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervOO{0}{+\infty}.

On pourra remarquer que $f(x)=2\times\dfrac{1}{x}\times\ln(x)+\dfrac{1}{x}$.
\item Soit $I=\dfrac{1}{4}\dint_1^5 f(x)\dx$. Déterminer la valeur exacte de $I$, puis en donner
une valeur approchée au centième près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{C : Application économique}

Dans cette partie, on pourra utiliser certains résultats de la partie B.

\medskip

Une entreprise de sous-traitance fabrique des pièces pour l'industrie automobile.

Sa production pour ce type de pièces varie entre \numprint{1000} et \numprint{5000} pièces par semaine, selon la demande.

On suppose que toutes les pièces produites sont vendues.

Le bénéfice unitaire, en fonction du nombre de pièces produites par semaine, peut être modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie B, avec $x$ exprimé en milliers de pièces et $f(x)$ exprimé en euros.

\begin{enumerate}
\item Déterminer, au centime près, la valeur moyenne du bénéfice unitaire pour une production hebdomadaire comprise entre \numprint{1000} et \numprint{5000} pièces.
\item \textit{Dans cette question, la réponse sera soigneusement justifiée. Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Pour quelle(s) production(s), arrondie(s) à l'unité près, obtient-on un bénéfice unitaire égal à 1,05~\euro{} ?
\end{enumerate}