\newpage
\exercice[style=R,N=4,verif]{Fonctions $x-\ln x$ et $x-\ln^2x$}

On consid\`ere sur \intervOF{0}{3} les deux fonctions : \[ 
f(x)=x-\ln x \qquad \text{et} \qquad 
g(x)=x-\left(\ln x\right)^2.
\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ , et $\Gamma$ celle de $g$ dans un rep\`ere orthonormal \Rij (le symbole \og $\Gamma$ \fg{} se lit \og Gamma majuscule \fg).

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=4,yscale=1.5]
\draw[gray!50] (-.5,-1.5) grid (3,2.5);
\clip (-.5,-1.5) rectangle (3,2.5);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-.5,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-1.5) -- (0,2.5);
\draw[purple,thick] plot[domain=0.01:3,samples=70] (\x,{\x-ln(\x)});
\draw[dashed,violet,thick] plot[domain=0.01:3,samples=70] (\x,{\x-(ln(\x))*(ln(\x))});
\node[below left] at (0,0) {O};
\draw[thick] (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below,fill=white] {1};
\draw[thick] (0.05,1) -- (-0.05,1) node[left,fill=white] {1};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\partie{A : \'Etude des fonctions $\pmb{f}$ et $\pmb{g}$}

\begin{enumerate}
\item On d\'esigne par $f^\prime$ la fonction d\'eriv\'ee de $f$ sur \intervOF{0}{3}.

Calculer $f^\prime(x)$ et dresser un tableau de variations de $f$ sur \intervOF{0}{3}.

\item On d\'esigne par $g^\prime$ la fonction d\'eriv\'ee de $g$ sur \intervOF{0}{3}. Calculer $g^\prime(x)$.

En admettant que $(x-2\ln x)$ est positif sur \intervOF{0}{3}, en d\'eduire que $g$ est strictement croissante sur \intervOF{0}{3}.
\item D\'esigner, sur le graphique, la courbe $\mathcal{C}$ et la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}


\partie{B : Position relative des deux courbes}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item R\'esoudre dans \intervOF{0}{3} l'\'equation $g(x)=f(x)$.
\item En d\'eduire les coordonn\'ees des points d'intersection M et N des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$.

Placer M et N sur le graphique
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item R\'esoudre sur \intervOF{0}{3} l'in\'equation $g(x) \geqslant f(x)$.
\item En d\'eduire la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ sur l'intervalle \intervFF{1}{\e}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\partie{C : Calcul d'aire}

On d\'esigne par $\mathcal{D}$ l'ensemble des points M\coord{x}{y} du plan tels que :
\[(1 \leqslant x \leqslant \e) \qquad \textrm{et} \qquad \left(f(x) \leqslant y \leqslant g(x) \right)\]
et par $\mathcal{A}$ son aire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer $\mathcal{D}$ sur le graphique.
\item Soit la fonction $H$ d\'efinie sur \intervFF{1}{\e} par $H(x)=-x\left(\ln x\right)^2+3x\ln x-3x$.

\begin{enumerate}
\item V\'erifier que la fonction $H$ est une primitive de la fonction $g-f$ sur \intervFF{1}{\e}.

On admet que, en unit\'es d'aire, on a $\mathcal{A}=H(\e)-H(1)$.
\item Calculer, en unit\'es d'aire, la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
\item En donner une valeur approch\'ee au mm$^2$ pr\`es par exc\`es  sachant que l'unit\'e graphique est 5~cm en abscisses et 2 cm en ordonn\'ees.
\end{enumerate}
\end{enumerate}