\begin{enumerate}
\item $\dfrac{x^2+2}{x^2+1}$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ donc sa d\'eriv\'ee est :
\[
\dfrac{u'v-v'u}{v^2}=\dfrac{2x(x^2+1)-2x(x^2+2)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}.
\]
Ainsi, en consid\'erant $f(x)$ sous la forme $\ln U$, on a :
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{U'(x)}{U(x)}\\
& = \dfrac{\frac{-2x}{(x^2+1)^2}}{\frac{x^2+2}{x^2+1}}\\
& = \dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}\times\dfrac{x^2+1}{x^2+2}\\
& = \dfrac{-2x}{(x^2+1)(x^2+2)}
\end{align*}

Or, $x^2+2>0$ et $x^2+1>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-2x$, \`a savoir n\'egatif sur \intervFO{0}{+\infty}. 

\item On a alors :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!10,colorC=violet!10,colorV=violet!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.7,$f(x)$/1}{0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-}
\tkzTabVar{+/$\ln2$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item L'\'equation de la tangente \`a la courbe repr\'esentative d'une fonction $f$ au point d'abscisse $a$ est :
\[
y=f'(a)(x-a)+f(a).
\]
Ici, $a=3$. On a alors :
\[
y=f'(3)(x-3)+f(3).
\]
\begin{itemize}
\item $f'(3)=\dfrac{-6}{110}=-\dfrac{3}{55}$.
\item $f(3)=\ln\dfrac{11}{10}=\ln1,1$.
\end{itemize}
On a alors :
\[
y=-\dfrac{3}{55}(x-3)+\ln1,1.
\]
En mettant cette \'equation sous la forme $y=ax+b$, on trouve que l'\'equation de la tangente \`a $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 3 est :
\[
\boxed{y=-\dfrac{3}{55}x+\dfrac{9}{55}+\ln1,1}
\]
\end{enumerate}