\begin{enumerate}
\item $\ln x=3 \iff \ln x=\ln\big(\e^3\big)\iff x=\e^3$. Donc \uline{$\mathscr{S}=\big\{\e^3\big\}$}.

\item $\ln x=1 \iff x=0$ (c'est du cours !). Donc \uline{$\mathscr{S}=\big\{0\big\}$}.

\item $\ln x=\e \iff \ln x=\ln\big(\e^\e\big) \iff x=\e^\e$. Donc \uline{$\mathscr{S}=\big\{\e^\e\big\}$}.

\item $\begin{aligned}[t]
\ln(x+1) = \ln(2x+5) & \iff x+1=2x+5 \qquad \text{d'apr\`es la propri\'et\'e : }\ln a=\ln b \iff a=b\\
                     & \iff 1-5=2x-x\\
					 & \iff -4=x. 
\end{aligned}$

\medskip

Or, pour $x=-4$, $x+1=-4+1=-3<0$ donc $\ln(x+1)$ n'est pas d\'efini. Ainsi, $x=-4$ ne peut pas \^etre solution de cette \'equation, et donc \uline{$\mathscr{S}=\varnothing$}.

\item $\begin{aligned}[t]
\ln\big(x^2+1\big)=\ln\big(x^2+2x+1\big) & \iff x^2+1=x^2+2x+1\\
&  \iff 0=2x\\
& \iff x=0.
\end{aligned}$

\medskip

Pour $x=0$, $\ln(x^2+1)=\ln(1)=0$ et $\ln(x^2+2x+1)=\ln(1)=0$ donc $x=0$ est bien une solution de l'\'equation.

\medskip

Ainsi \uline{$\mathscr{S}=\{0\}$}.

\item $\begin{aligned}[t]
\ln\big(2x^2+2x-12\big)=\ln\big(x^2+3x-10\big) & \iff 2x^2+2x-12=x^2+3x-10\\
&  \iff x^2-x-2=0.
\end{aligned}$

\medskip

Le discriminant de $x^2-x-2$ est $\Delta=9$ donc il admet deux racines : 
\[
x_1=\dfrac{1-3}{2}=-1 \qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{1+3}{2}=2.
\]
\begin{itemize}
\item Pour $x=-1$, $2x^2+2x-12=-12$ donc $\ln\big(2x^2+2x-12\big)$ n'est pas d\'efini, donc $x=-1$ n'est pas une solution de l'\'equation.
\item Pour $x=2$, $2x^2+2x-12=0$ donc $\ln\big(2x^2+2x-12\big)$ n'est pas d\'efini, donc $x=2$ n'est pas une solution de l'\'equation.
\end{itemize}
Ainsi, \uline{$\mathscr{S}=\varnothing$}.

\item $\begin{aligned}[t]
\ln\big(x^2+3x+5\big)=\ln\big(2x^2-5x+12\big) & \iff x^2+3x+5=2x^2-5x+12 \\
& \iff x^2-8x+7=0.
\end{aligned}$

\medskip

Le discriminant de $x^2-8x+7$ est $\Delta=64-28=36$ donc il admet deux racines : 
\[
x_1=\dfrac{8-6}{2}=1\qquad\text{et}\qquad x_2=\dfrac{8+6}{2}=7.
\]
\begin{itemize}
\item Pour $x=1$, $x^2+3x+5=9>0$ et $2x^2-5x+12=9>0$ donc $x=1$ est une solution de l'\'equation.
\item Pour $x=7$, $x^2+3x+5=75>0$ et $2x^2-5x+12=75>0$ donc $x=7$ est une solution de l'\'equation.
\end{itemize}
Ainsi, \uline{$\mathscr{S}=\{1~;~7\}$.}

\item $\big(\ln x\big)^2+\ln x-6=0 \iff X^2+X-6=0$ en posant $X=\ln x$.

Le discriminant de $X^2+X-6$ est $\Delta=25$ donc il admet deux racines : 
\[
X_1=\dfrac{-1-5}{2}=-3\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{-1+5}{2}=2.
\]
Ainsi, 
\[
\begin{array}{c@{\qquad\text{et}\qquad}c}
\ln x_1=-3 & \ln x_2=2\\
x_1=\e^{-3} & x_2=\e^2
\end{array}
\]
L'ensemble solution de l'\'equation est donc \uline{$\mathscr{S}=\big\{\e^{-3}~;~\e^2\big\}$}
\end{enumerate}