\begin{enumerate}
	\item $\begin{aligned}[t]
		\ln(-3x+4)\leqslant3 
		& \iff \ln(-3x+4)\leqslant\ln\big(\e^3\big)\\
		& \iff -3x+4\leqslant\e^3\quad\text{d'apr\`es la propri\'et\'e : }\ln a\leqslant\ln b \iff a\leqslant b\\
		& \iff -3x\leqslant\e^3-4\\
		& \iff x\geqslant\dfrac{4-\e^3}{3}
		\end{aligned}$ 

		avec $\dfrac{4-\e^3}{3}\approx-5,36$.

		De plus, $\ln(-3x+4)$ est d\'efini pour $-3x+4>0$, soit pour $-3x>-4$ ou encore $x<\dfrac{4}{3}$.

		Ainsi, $\boxed{\mathscr{S}=\intervFO{\dfrac{4-\e^3}{3}}{\dfrac{4}{3}}}$.

	\item $\ln\big(x^2-4\big)<\ln\big[2x(x+2)\big]$.
		\begin{itemize}
			\item {\bfseries Domaine de d\'efinition de l'in\'equation.}

			L'in\'equation est valide quand $\ln\big(x^2-4\big)$ et $\ln\big(2x(x+2)\big)$ existent, c'est-\`a-dire quand :
			\[
			\begin{cases}
			x^2-4>0\\
			2x(x+2)>0
			\end{cases}
			\]
			\begin{itemize}
				\item Le polyn\^ome $x^2-4$ est du second degr\'e et admet pour racines $2$ et $-2$ car\\ $x^2-4=(x-2)(x+2)$, en tant qu'identit\'e remarquable.

				D'apr\`es le th\'eor\`eme du signe d'un polyn\^ome de degr\'e 2, $x^2-4$ est positif \`a l'ext\'erieur des racines, donc :
				\[
				x^2-4>0 \iff x \in \intervOO{-\infty}{-2}\cup\intervOO{2}{+\infty}.
				\]

				\item $2x(x+2)$ est aussi un polyn\^ome de degr\'e 2, et a pour racines 0 et $-2$ donc :
				\[
				2x(x+2)>0 \iff x \in \intervOO{-\infty}{-2} \cup \intervOO{0}{+\infty}.
				\]
			\end{itemize}
			Ainsi, l'ensemble de d\'efinition de l'in\'equation est l'intersection des deux ensembles, soit :
			\[
			{\cal D} = \intervOO{-\infty}{-2}\cup\intervOO{2}{+\infty}.
			\]

			\item {\bfseries R\'esolution de l'in\'equation.}
			\begin{align*}
			\ln\big(x^2-4\big)<\ln\big[2x(x+2)\big] & \iff x^2-4<2x^2+4x \\
			& \iff x^2+4x+4>0 \\
			& \iff (x+2)^2>0.
			\end{align*}
			Le domaine de d\'efinition \'etant $\intervOO{-\infty}{-2}\cup\intervOO{2}{+\infty}$, l'in\'egalit\'e $(x+2)^2>0$ est toujours vraie sur cet ensemble.

			\medskip

			\uline{Ainsi, $\mathscr{S}=\intervOO{-\infty}{-2}\cup\intervOO{2}{+\infty}$}
		\end{itemize}

	\item $\big(\ln x\big)^2-4\ln x+3<0 \iff X^2-4X+3<0$ en posant $X=\ln x$.

	Le discriminant de $X^2-4X+3$ est $\Delta=4$ donc il admet deux racines : 
	\[
	X_1=\dfrac{4-2}{2}=1\qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{4+2}{2}=3.
	\]
	Donc :
	\begin{align*}
	X^2-4X+3<0 & \iff 1 < X < 3\\
	& \iff 1 < \ln x < 3\\
	& \iff \e^1 < \e^{\ln x} < \e^3\\
	& \iff \e < x < \e^3.
	\end{align*}
	Ainsi, \uline{$\mathscr{S}=\intervOO{\e}{\e^3}$.}

\newpage
\item $\ln\left(\dfrac{x+2}{x-2}\right)>1$.

	\begin{itemize}
		\item {\bfseries Domaine de d\'efinition de l'in\'equation.}
		
		Cette in\'equation est d\'efinie lorsque $\dfrac{x+2}{x-2}>0$. 
		
		Or, $\dfrac{x+2}{x-2}$ est du m\^eme signe que $(x+2)(x-2)$, qui est un polyn\^ome de degr\'e 2 ayant pour racines $x_1=2$ et $x_2=-2$.

		Ainsi, 
		\[
		\dfrac{x+2}{x-2}>0 \iff x \in \intervOO{-\infty}{-2}\cup\intervOO{2}{+\infty}.
		\]

		\item {\bfseries R\'esolution de l'in\'equation.}
		\begin{align*}
		\ln\left(\dfrac{x+2}{x-2}\right)>1 
		& \iff \ln\left(\dfrac{x+2}{x-2}\right)>\ln\e\\
		& \iff \dfrac{x+2}{x-2}>\e\\
		& \iff \dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{\e(x-2)}{x-2}>0\\
		& \iff \dfrac{x+2-\e x+2\e}{x-2}>0\\
		& \iff \dfrac{(1-\e)x+2(1+\e)}{x-2}>0
		\end{align*}
		Or,
		\[
		(1-\e)x+2(1+\e)>0 \iff \underbrace{(1-\e)}_{<0}x>-2(1+\e) \iff x<\dfrac{2(1+\e)}{\e-1}.
		\]
		Notons $\alpha=\dfrac{2(1+\e)}{\e-1}\approx4,3$ d'o\`u le tableau de signes suivant :
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=4,%
						color,%
						colorV=violet!10,%
						colorL=violet!10,%
						colorC=violet!10]
		{
			$x$ / 0.7 ,
			$(1-\e)x+2(1+\e)$ / 0.5 ,
			$x-2$ / 0.5 ,
			$\dfrac{(1-\e)x+2(1+\e)}{x-2}$ / 1.5
		}
		{ $-\infty$ , $2$ , $\alpha$ , $+\infty$ }
		\tkzTabLine{ , + ,, + , z , - }
		\tkzTabLine{ , - , z , + , , +}
		\tkzTabLine{ , - , d , + , z , -}
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		Ainsi,
		\[
		\dfrac{(1-\e)x+2(1+\e)}{x-2}>0 \iff x\in\intervOO{2}{\alpha}.
		\]

		Or, $\intervOO{2}{\alpha}$ est inclus dans $\mathscr{D}$ donc l'ensemble solution de l'in\'equation de d\'epart est :
		\[
		\boxed{\mathscr{S}=\intervOO{2}{\dfrac{2(1+\e)}{\e-1}}}
		\]
	\end{itemize}
\end{enumerate}
\newpage