\begin{enumerate}
\item $f'(x)=(\ln x)' + (2)' = \dfrac{1}{x} + 0 = \dfrac{1}{x}.$
\item $f'(x)=\dfrac{1}{x+2}$ car $f$ est de la forme $\ln u$, avec $u(x)=x+2$ donc $f'$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$.
\item Attention : ici, $f=u+v$ avec $u(x)=x\ln x$ et $v(x)=x$, mais $u$ est un produit ! Il faut donc calculer sa d\'eriv\'ee en tant que tel :
\[
u'(x)=(x)'\ln x + x(\ln x)'
\]
On a donc : $\begin{aligned}[t]
f'(x) & = 1\times\ln x +x\times\dfrac{1}{x}-1\\
& = \ln x-1+1\\
\Aboxed{f'(x) & = \ln x}
\end{aligned}$

\item $f$ est de la forme $u^2$, avec $u(x)=\ln x$, donc $f'=2u'u$.

Ainsi, $f'(x)=2\times\dfrac{1}{x}\times\ln x$, soit $\boxed{f'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}}$.

\item $f$ est de la forme $\ln u$ avec $u(x)=x^2+1$, donc $u'(x)=2x$ et $f'=\dfrac{u'}{u}$, soit $\boxed{f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}}$.

\item $f$ est de la forme $\ln u$ avec $u(x)=\ln x$, donc $u'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $f'=\dfrac{u'}{u}$ soit $f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}}{\ln x}$.

On a alors $\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{x\ln x}}$.

\item $f(x)=x^2+x+1-\dfrac{\ln x}{x}$.

La d\'eriv\'ee de $g\;:\;x\longmapsto x^2+x+1$ est $g'\;:\;x\longmapsto2x+1$ et la d\'eriv\'ee de la fonction $h\;:\;x\longmapsto\dfrac{\ln x}{x}$ est de la forme $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ car $h=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=\ln x$ et $v(x)=x$.

Ainsi, $h'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x\times 1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$.

Finalement, $\boxed{f'(x)=2x+1-\dfrac{1-\ln x}{x^2}}$.

\item $f(x)=\dfrac{\ln x-x}{1+x}$. $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=\ln x -x$, $u'(x)=\dfrac{1}{x}-1$, $v(x)=1+x$ et $v'(x)=1$.

Donc $f'$ est de la forme $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ donc :
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{\left(\frac{1}{x}-1\right)(1+x)-(\ln x-x)\times1}{(x+1)^2}\\
& = \dfrac{\frac{1}{x}+1-1-x-\ln x+x}{(x+1)^2}\\
& = \dfrac{\frac{1}{x}-\ln x}{(x+1)^2}\\
& = \dfrac{\frac{1}{x}-\frac{x\ln x}{x}}{(x+1)^2}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{1-x\ln x}{x(x+1)^2}}
\end{align*}
\end{enumerate}