\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $g'(x)=6x^2+2x+\dfrac{1}{x}>0$ sur \intervOO{0}{+\infty} car $6x^2>0$, $2x>0$ et $x>0$ (donc $\dfrac{1}{x}>0$), donc $g$ est strictement croissante sur \intervOO{0}{+\infty}.

\item $g$ est continue et strictement croissante sur \intervFF{\dfrac{1}{2}}{1}. 

De plus, $g\left(\dfrac{1}{2}\right)\approx-0,7<0$ et $g(1)=2>0$ donc $g\left(\dfrac{1}{2}\right) < 0 < g(2)$.

D'apr\`es le corollaire du th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe sur \intervFF{\dfrac{1}{2}}{1} une unique valeur $\alpha$ telle que $g(\alpha)=0$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $f'(x)=2x+1-\dfrac{1-\ln x}{x^2}=\dfrac{2x^3+x^2-1+\ln x}{x^2}$.

$x^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2x^3+x^2-1+\ln x=g(x)$.

\item De ce que nous avons fait aux questions pr\'ec\'edentes, on a :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=3,color,colorV=violet!10,colorL=violet!10,colorC=violet!10]
{
	$x$ / 1 ,
	$f^{\prime}(x)$ / 1,
	$f$ / 2
}
{ $0$ , $\alpha$ , $+\infty$ }
{ d , - , z , + , }
{ D+/ , -/$f(\alpha)$ ,  +/ }
\end{tikzpicture}
\end{center}

$\alpha\approx0,637$ donc $f(\alpha)\approx2,75>0$. 

Or, $f(\alpha)$ est le minimum de $f$ donc $f(x)\geqslant f(\alpha)>0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
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