
\exercice[style=A,N=3,verif]{\'Etude de $x^2+x+1-\frac{\ln x}{x}$ avec fonction auxiliaire}

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction d\'efinie sur \intervOO{0}{+\infty} par :
\[ g(x)=2x^3+x^2-1+\ln x\;. \]
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer les variations de $g$.
\item Montrer que l'\'equation $g(x)=0$ admet une unique solution sur \intervFF{\dfrac{1}{2}}{1}. 

On la notera $\alpha$.
\end{enumerate}

\item On pose $f(x)=x^2+x+1-\dfrac{\ln x}{x}$. D'apr\`es la question \ref{ex-ln-07q7} de l'{\color{\colorExTitle}\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\selectfont Exercice 6}, on sait que\linebreak $f'(x)=2x+1-\dfrac{1-\ln x}{x^2}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)$ est du m\^eme signe que $g(x)$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item En d\'eduire les variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}, puis montrer que $f(x)>0$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
