\begin{enumerate}
\item $g$ est de la forme $u-v$, avec $u(x)=1$ et $v(x)=x\ln x$ (donc c'est un produit).

Ainsi, 
\begin{align*}
g'(x) & = 0 - 1\times\ln x-x\times\dfrac{1}{x}\\
\Aboxed{g'(x) & = -\ln x-1}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
g'(x)\geqslant0 & \iff -\ln x-1 \geqslant 0\\
& \iff -(\ln x+1)\geqslant0\\
& \iff \ln x+1\leqslant0\\
& \iff \ln x\leqslant-1\\
& \iff x\leqslant\e^{-1}
\end{aligned}$

d'o\`u le tableau suivant :

\medskip

\begin{minipage}{\dimexpr\textwidth-7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorV=violet!10,colorL=violet!10,colorC=violet!10]{$x$/0.7,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1}{0,$\e^{-1}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,z,-}
\tkzTabVar{D-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{5cm}
$\begin{aligned}[t]
g\big(\e^{-1}\big) & =1-\e^{-1}\ln\big(\e^{-1}\big)\\
									 & = 1-\e^{-1}\times(-1)\\
									 & = 1+\e^{-1}>0
\end{aligned}$
\end{minipage}

\item $g$ est continue et strictement d\'ecroissante sur \intervFO{\e^{-1}}{+\infty} donc sur \intervFF{1}{2}.

De plus, $g(1)=1$ et $g(2)=1-2\ln2<0$ donc d'apr\`es le corollaire du th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe une unique valeur $\alpha$ dans \intervFF{1}{2} telle que $g(\alpha)=0$.

\item $f'(x)=\dfrac{1-x\ln x}{x(x+1)^2}=\dfrac{g(x)}{x(x+1)^2}$ est du signe de son num\'erateur (donc du signe de $g(x)$) car sur \intervOO{0}{+\infty}, $x>0$ et $(x+1)^2>0$.

D'o\`u le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorV=violet!10,colorL=violet!10,colorC=violet!10]{$x$/0.7,$f'(x)$/0.7,$f(x)$/1}{0,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,+,z,-}
\tkzTabVar{D-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\newpage