\exercice[style=R,N=3,verif]{\'Etude de $\frac{\ln x-x}{x+1}$ avec fonction auxiliaire}
On pose $f(x)=\dfrac{\ln x-x}{x+1}$. On a montr\'e \`a la question \ref{ex-ln-07q8} de l'{\color{\colorExTitle}\fontfamily{lmss}\fontseries{b}\selectfont Exercice 6} que :
\[ f'(x)=\dfrac{1-x\ln x}{x(x+1)^2}. \]
On se propose ici d'\'etudier la fonction $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.

\medskip

On pose alors $g(x)=1-x\ln x$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$.
\item \'Etudier le signe de $g'(x)$, puis en d\'eduire les variations de $g$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\item Montrer que l'\'equation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur \intervFF{1}{2}.

On admettra que $g(x)>0$ sur \intervOF{0}{\e^{-1}}.

\item En d\'eduire le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$ sur \intervOO{0}{+\infty}.
\end{enumerate}