\begin{enumerate}
\item $f'(x)=\dfrac{a}{x}$ donc $f'(1)=1\iff a=1$.

De plus, $f\big(\e^{-1}\big)=-1 \iff -a+b=-2$. Comme $a=1$, cela nous donne : $b=-2+1=-1$

Finalement, on a $\boxed{f(x)=\ln x-1}$.

\item L'\'equation r\'eduite de la tangente est donn\'ee par la formule :
\[
y=f'(1)(x-1)+f(1)
\]
avec $f'(1)=1$ et $f(1)=\ln1-1=-1$. D'o\`u :
\[
y=x-1-1
\]
soit :
\[
\boxed{y=x-2}
\]
\end{enumerate}