\begin{enumerate}
\item \label{q1ex11ln}$\begin{aligned}[t]
f(1)=1 & \iff k\ln(a+b)=1\\
& \iff \ln(a+b)=\dfrac{1}{k}\\
& \iff \boxed{a+b=\e^{\frac{1}{k}}}
\end{aligned}$

\item $f'(x)=\dfrac{ka}{ax+b}$ donc $\begin{aligned}[t]
f'(1)=1 & \iff \dfrac{ka}{a+b}=1\\
& \iff ka=a+b\\
& \iff ka-a=b\\
& \iff (k-1)a=b\\
& \iff \boxed{a=\dfrac{b}{k-1}}
\end{aligned}$

\item En rempla\c{c}ant $a$ par $\dfrac{b}{k-1}$ dans l'\'egalit\'e obtenue \`a la question \ref{q1ex11ln}, on obtient :
\begin{align*}
\dfrac{b}{k-1}+b=\e^{\frac{1}{k}} & \iff \dfrac{b}{k-1}+\dfrac{b{\color{red}(k-1)}}{\color{red}k-1}=\dfrac{{\color{red}(k-1)}\e^{\frac{1}{k}}}{\color{red}k-1}\\
& \iff b+b(k-1)=(k-1)\e^{\frac{1}{k}}\\
& \iff bk=(k-1)\e^{\frac{1}{k}}\\
& \iff \boxed{b = \dfrac{k-1}{k}\e^{\frac{1}{k}}}
\end{align*}
Comme $a=\dfrac{b}{k-1}=\dfrac{1}{k-1}\times b$, on en d\'eduit que $a=\dfrac{1}{k-1}\times\dfrac{k-1}{k}\e^{\frac{1}{k}}$, soit apr\`es simplification par $k-1$ : 
\[
\boxed{a=\dfrac{1}{k}\e^{\frac{1}{k}}}
\]

\item $\begin{aligned}[t]
f(0) & = k\ln b\qquad avec b=\dfrac{k-1}{k}\e^{\frac{1}{k}}=\left(1-\dfrac{1}{k}\right)\e^{\frac{1}{k}}\\
& = k\ln\left[\left(1-\frac{1}{k}\right)\e^{\frac{1}{k}} \right]\\
& = k\ln\left(1-\dfrac{1}{k}\right)+k\ln\e^{\frac{1}{k}}\\
& = k\ln\left(1-\dfrac{1}{k}\right)+k\times\dfrac{1}{k}\\
\Aboxed{f(0) & = k\ln\left(1-\dfrac{1}{k}\right)+1}
\end{aligned}$
\end{enumerate}