\begin{enumerate}
\item $f$  est de la forme $g+h$, avec $g(x)=x^2\ln(x)$ et $h(x)=-3x^2+5x-1$.

$g$ est de la forme $uv$, avec $u(x)=x^2$ et $v(x)=\ln(x)$ donc :
\begin{align*}
g'(x) & = (u'v+uv')(x)\\
      & = 2x\ln(x) + x^2 \times \dfrac{1}{x}\\
	  & = 2x\ln(x) + x.
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = {\color{red}g'(x)} + {\color{blue}h'(x)}\\
      & = {\color{red}2x\ln(x)+x}\textcolor{blue}{-6x+5}\\
\Aboxed{f'(x) & = 2x\ln(x)-5x+5}
\end{align*}

La d\'eriv\'ee de $2x\ln(x)$ est :
\[
2\ln(x) + 2x\times\dfrac{1}{x} = 2\ln(x)+2
\]
donc 
\begin{align*}
f''(x) & = 2\ln(x)+2-5\\
\Aboxed{f''(x) & = 2\ln(x)-3}
\end{align*}

\item $f'(1)=2\ln(1)-5+5=0$ et $f'(10)=20\ln(10)-50+5=20\ln(10)-45\approx1,05$.

\medskip 

De plus, 
\begin{align*}
f''(x)>0 & \iff 2\ln(x)-3>0\\
         & \iff 2\ln(x)>3\\
		 & \iff \ln(x)>\dfrac{3}{2}
\end{align*}
On en d\'eduit le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\tkzTab[lgt=2,color,colorV=violet!10,colorL=violet!10,colorC=violet!10]
{
	$x$ / 0.8 ,
	$f^{\prime\prime}(x)$ / 0.8,
	$f^{\prime}(x)$ / 2
}
{ $0$ , $1$ , $\frac{3}{2}$ , $\alpha$ , $10$ , $+\infty$ }
{ d ,  - ,     , -   ,  z  , +   ,    , + ,  , + , }
{ +/ , R / ,        - /     ,  R / , R / , + /}
\tkzTabIma{1}{3}{2}{0}
\node[fill=white] at ($0.66*(N33)+0.33*(N62)$) {0};
\node[fill=white] at ($0.33*(N33)+0.66*(T22)$) {1,05};
\end{tikzpicture}


$\begin{aligned}
f'(1,5) & = 3\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)-\dfrac{15}{2}+5\\
		& = 3 \ln(1,5)-2,5\\
		& \approx -1,28.
\end{aligned}$
\end{center}

$f'$ est une fonction continue et strictement croissante sur \intervOO{1,5}{10} et d'apr\`es les valeurs des images trouv\'ees pr\'ec\'edemment, en appliquant le corollaire du th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe une unique valeur $\alpha$ telle que $f'(\alpha)=0$.

\newpage

On peut alors voir le signe de $f'(x)$ et donc trouver les variations de $f$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=2,color,colorV=violet!10,colorL=violet!10,colorC=violet!10]
{
	$x$ / 0.8 ,
	$f^{\prime}(x)$ / 0.8,
	$f$ / 2
}
{ $0$ , $1$ , $\alpha$ ,  $+\infty$ }
{ d ,  + ,  z   , -   ,  z  , +  , }
{ -/ ,  + /  , - / , +/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}