\begin{enumerate}
\item Notons X la variable al\'eatoire repr\'esentant la dur\'ee de vie de l'appareil.

Posons alors $\rm Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$. 

D'apr\`es le cours, Z suit la loi normale centr\'ee r\'eduite $\mathscr{N}\coord{0}{1}$.

\begin{itemize}
\item D'apr\`es l'\'enonc\'e, $\probavar[\leqslant]{X}{120}=0,05$ donc :
\begin{equation}
\probavar[\leqslant]{Z}{\dfrac{120-\mu}{\sigma}}=0,05.\label{tex-loicont-07-eq2}
\end{equation}

\`A l'aide de la calculatrice, on trouve alors que :
\[
\dfrac{120-\mu}{\sigma}=-1,65,
\]
soit :
\[
120-\mu=-1,65\sigma\;,
\]
que l'on peut \'ecrire : 

\begin{equation}
\mu=120+1,65\sigma.\label{tex-loicont-07-eq3}
\end{equation}

\item De plus, on a $\proba{120 \leqslant X \leqslant 200}=0,8$, ce qui signifie que :

\begin{equation}
\proba{\dfrac{120-\mu}{\sigma} \leqslant Z \leqslant \dfrac{200-\mu}{\sigma}}=0,8.\label{tex-loicont-07-eq1}
\end{equation}
\end{itemize}


Des \'egalit\'es \ref{tex-loicont-07-eq2} et \ref{tex-loicont-07-eq1}, on d\'eduit que :
\[
\probavar[\leqslant]{Z}{\dfrac{120-\mu}{\sigma}}+ \proba{\dfrac{120-\mu}{\sigma} \leqslant Z \leqslant \dfrac{200-\mu}{\sigma}} =\probavar[\leqslant]{Z}{\dfrac{200-\mu}{\sigma}}=0,85.
\]

\`A l'aide de la calculatrice, on trouve alors que :
\[
\dfrac{200-\mu}{\sigma}=1,04,
\]
soit $200-\mu=1,04\sigma$, que l'on peut \'ecrire :
\begin{equation}
\mu=200-1,04\sigma.\label{tex-loicont-07-eq4}
\end{equation}

Les \'egalit\'es \ref{tex-loicont-07-eq3} et \ref{tex-loicont-07-eq4} nous permettent d'\'ecrire alors :
\[ 
120+1,65\sigma = 200-1,04\sigma\;,
\]
soit :
\[
2,69\sigma=80\;,
\]
ou encore :
\[
\sigma=\dfrac{80}{2,69}\approx29,74~(\text{soit }\sigma^2\approx884).
\]
Ainsi, $\mu\approx120+1,65\times29,74\approx169$.

\medskip

\underline{X suit donc la loi normale $\mathscr{N}\coord{169}{884}$.}

\item \`A la calculatrice, on trouve : $\underline{\proba{200 \leqslant X \leqslant 230}\approx0,13}$.
\end{enumerate}
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