\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Comme $A$ et $B$ sont ind\'ependants, \begin{align*}
		P(C)&  = p(A \cap B)\\
		&  = p(A) \times p(B)\\
		& = 0,02 \times 0,01\\
		\Aboxed{P(C) & = \nombre{0,0002}}
\end{align*}

	\item $\begin{aligned}[t]
	P(D) & = p(A \cup B)\\
	& = p(A) + p(B) - p(A \cap B)\\
	& = 0,02 + 0,01 - \nombre{0,0002}\\
	\Aboxed{P(D) & = \nombre{0,0298}}
	\end{aligned}$
	
	\item  On a $E = \overline{D}$ d'o\`u :
	\begin{align*}
	P(E)& = 1 - p(D)\\
	& = 1 -  \nombre{0,0298}\\
	\Aboxed{P(E) & = \nombre{0,9702}}
	\end{align*}
	
	\item  $A$ et $B$ \'etant ind\'ependants, par propri\'et\'e : 
\[
\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)} = p(B) = \uline{0,01}.
\]
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a manifestement une \'epreuve de Bernoulli avec deux issues (sac sans d\'efaut, sac d\'efectueux), que l'on r\'ep\`ete 100 fois de fa\c{c}on ind\'ependante (tout du moins \textit{assimil\'e} comme ind\'ependante d'apr\`es l'\'enonc\'e).

La variable al\'eatoire $X$ suit donc une loi binomiale de param\`etres $n = 100$ et $p = 0,03$. 

	\item On sait que pour $0 \leqslant k \leqslant 100$, la probabilit\'e que $k$ sacs soient d\'efectueux est :
\[
P(X = k) = \binom{100}{k} 0,03^k (1 - 0,03)^{100-k}.
\]
L'\'ev\'enement contraire de l'\'ev\'enement \og au moins un sac est d\'efectueux \fg{} est \og il n'y a pas de sac d\'efectueux \fg, qui a une probabilit\'e \'egale \`a :
\[\dbinom{100}{0}0,03^0 \times 0,97^{100} = 0,97^{100} \approx \nombre{0,0476}.\]
La probabilit\'e d'avoir au moins un sac d\'efectueux est donc \'egale \`a :
\[1 - 0,97^{100} \approx 0,952 \approx 0,95~\text{(au centi\`eme pr\`es)}.\]
\paragraph*{Interpr\'etation :} pour 100 sacs pr\'elev\'es, il y a \`a peu pr\`es 95 chances sur 100 d'avoir au moins un sac d\'efectueux.

\item Pour cette loi binomiale, l'esp\'erance math\'ematique de $X$ est :
\[
E(X) = n \times p = 100 \times 0,03 = 3.	
\]
\paragraph*{Interpr\'etation :} sur 100 sacs pr\'elev\'es il y a en moyenne 3 sacs d\'efectueux. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
