\exercice[style=A,N=3,verif]{Une usine fabrique des sacs}

Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqu\'e peut pr\'esenter deux d\'efauts : le d\'efaut $a$ et le d\'efaut~$b$. Un sac est dit d\'efectueux s'il pr\'esente au moins l'un des deux d\'efauts. 

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, les probabilit\'es demand\'ees seront donn\'ees avec leurs valeurs d\'ecimales exactes. 

On pr\'el\`eve un sac au hasard dans la production d'une journ\'ee.
 
On note $A$ l' \'ev\'enement \og le sac pr\'esente le d\'efaut $a$ \fg{} et $B$ l'\'ev\'enement \og le sac pr\'esente le d\'efaut~$b$ \fg. Les probabilit\'es des \'ev\'enements $A$ et $B$ sont respectivement $P(A) = 0,02$ et \linebreak$P(B) = 0,01$ ; on suppose que ces deux \'ev\'enements sont ind\'ependants. 
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'e de l'\'ev\'enement C : \og le sac pr\'elev\'e pr\'esente le d\'efaut $a$ et le d\'efaut~$b$ \fg. 
	\item  Calculer la probabilit\'e de l'\'ev\'enement D : \og le sac est d\'efectueux \fg. 
	\item  Calculer la probabilit\'e de l'\'ev\'enement E : \og le sac ne pr\'esente aucun d\'efaut\fg. 
	\item  Sachant que le sac pr\'esente le d\'efaut $a$, quelle est la probabilit\'e qu'il pr\'esente aussi le d\'efaut~$b$?
	\end{enumerate} 
\item On suppose que la probabilit\'e (arrondie au centi\`eme) qu'un sac soit d\'efectueux est \'egale \`a $0,03$. 

On pr\'el\`eve au hasard un \'echantillon de 100~sacs dans la production d'une journ\'ee. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce pr\'el\`evement \`a un tirage avec remise de 100~sacs. On consid\`ere la variable al\'eatoire $X$ qui, \`a tout pr\'el\`evement de 100~sacs, associe le nombre de sacs d\'efectueux. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la variable al\'eatoire $X$ suit une loi binomiale dont on pr\'ecisera les param\`etres. 
	\item Quelle est la probabilit\'e de l'\'ev\'enement \og au moins un sac est d\'efectueux \fg{} ? On arrondira cette probabilit\'e au centi\`eme. Interpr\'eter ce r\'esultat. 
	\item Calculer l'esp\'erance math\'ematique de la variable al\'eatoire $X$.
	
	 Interpr\'eter ce r\'esultat dans le cadre de l'\'enonc\'e. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
