\begin{enumerate}
\item  On a l'arbre suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=.8]
\node (omega) at (0,0) {$\bullet$};
\draw (omega) -- (2,2) node[right] (D) {$D$};
\draw (omega) -- (2,-2) node[right] (DB) {$\overline{D}$};

\draw (D) -- (4,3) node[right] (R1) {$R$};
\draw (D) -- (4,1) node[right] (R1B) {$\overline{R}$};

\draw (DB) -- (4,-1) node[right] (R2) {$R$};
\draw (DB) -- (4,-3) node[right] (R2B) {$\overline{R}$};

\node[fill=white,scale=0.75] at ($0.5*(omega)+0.5*(D)$) {$0,06$};
\node[fill=white,scale=0.75] at ($0.5*(omega)+0.5*(DB)$) {$0,94$};
\node[fill=white,scale=0.75] at ($0.5*(D)+0.5*(R1)$) {$0,98$};
\node[fill=white,scale=0.75] at ($0.5*(D)+0.5*(R1B)$) {$0,02$};
\node[fill=white,scale=0.75] at ($0.5*(DB)+0.5*(R2)$) {$0,05$};
\node[fill=white,scale=0.75] at ($0.5*(DB)+0.5*(R2B)$) {$0,95$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
		 
\bigskip 

\item
\begin{enumerate}
\item  $\begin{aligned}[t]
\proba{D\cap \overline{R}} & =\proba{D} \times \probacond{\evcont{R}}{D}\\
& = 0,06 \times 0,02\\
& = \nombre{0,0012}. 
\end{aligned}$

\uline{Ainsi, la probabilit\'e que le lecteur soit d\'efectueux et ne soit pas rejet\'e est \'egale \`a \numprint{0,0012}.}

\item Il y a erreur de contr\^ole pour les \'ev\'enements disjoints  $\text{D} \cap \overline{\text{R}}$ et $\overline{\text{D}} \cap \text{R}$.

Sa probabilit\'e est donc : 
\begin{align*}
\proba{D\cap\overline{R}} + \proba{\overline{D} \cap R} & = 0,06 \times 0,02 + 0,94 \times 0,05\\
& = \nombre{0,0012} + \nombre{0,0470}\\
& = \nombre{0,0482}.
\end{align*}

\uline{La probabilit\'e qu'il y ait une erreur de contr\^ole est donc \'egale \`a \numprint{0,0482}.}
\end{enumerate} 

\item  $\begin{aligned}[t]
\proba{D\cap\overline{R}} + \proba{\overline{D}\cap\overline{R}}& = 0,06 \times 0,02 + 0,94 \times 0,95\\
& = \nombre{0,0012} + \nombre{0,8930}\\
& = \nombre{0,8942}
\end{aligned}$

\uline{La probabilit\'e qu'un lecteur MP3 ne soit pas rejet\'e est donc \'egale \`a \nombre{0,8942}.}

\item 
\begin{enumerate}
\item  La variable al\'eatoire $X$ repr\'esentant le nombre de contr\^oles positifs, c'est-\`a-dire o\`u le MP3 n'est pas rejet\'e, suit la loi binomiale de param\`etres $n = 4$ et  $p = \nombre{0,8942}$.

On a de plus le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*3{>{\centering\arraybackslash}m{0.25\linewidth}|}}
\hline
Lecteur commercialis\'e avec logo & 
Lecteur commercialis\'e sans logo & 
Lecteur d\'etruit\\
\hline
4 contr\^oles positifs & 
1 contr\^ole n\'egatif &
au moins 2 contr\^oles n\'egatifs donc 0 ou 1 contr\^ole positif\\
\hline
\probavar{X}{4} & $\probavar{X}{2}+\probavar{X}{3}$ & $\probavar{X}{0}+\probavar{X}{1}$\\
\hline
$G=120-50=70$ & $G=60-50=10$ & $G=-50$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Ainsi,
\begin{itemize}
\item $\probavar{G}{70}=\probavar{X}{4}=\dbinom{4}{4}\times \nombre{0,8942}^4 \approx \nombre{0,6394}$ ; 
\item $\probavar{G}{10}=\probavar{X}{2}+\probavar{X}{3}\approx\nombre{0,3563}$ ;
\item $\probavar{G}{-50}\approx \nombre{0,0043}$.
\end{itemize}
\paragraph*{Remarque :} quand on demande la loi de probabilit\'e d'une variable al\'eatoire, cela ne signifie pas n\'ecessairement qu'il faut en donner le nom. Ici, par exemple, $G$ ne suit pas la loi binomiale; ce n'est que $X$ (le nombre de contr\^oles positifs). Notre variable al\'eatoire ne suit pas de loi connue donc on doit donner la valeur de toutes les probabilit\'es. 

\item  D'apr\`es la loi de probabilit\'e de $G$, son exp\'erance est \'egale \`a :
\begin{align*}
E(G) & = 70 \times \nombre{0,6394} + 10 \times \nombre{0,3563} - 50 \times \nombre{0,0043}\\
& \approx 48,11. 
\end{align*}
\uline{Cela signifie qu'en moyenne, on peut compter sur un b\'en\'efice de 48,11~\euro{} par lecteur produit.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}