\exercice[style=A,N=3,verif]{Lecteurs MP3 d\'efectueux}

Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont \pourcent{6} sont d\'efectueux.
 
Chaque lecteur MP3 est soumis \`a une unit\'e de contr\^ole dont la fiabilit\'e n'est pas parfaite.

Cette unit\'e de contr\^ole rejette \pourcent{98} des lecteurs MP3 d\'efectueux et \pourcent{5} des lecteurs MP3 fonctionnant correctement.
  
On note :
\begin{itemize}
\item $D$ l'\'ev\'enement : \og le lecteur MP3 est d\'efectueux \fg{} ; 
\item $R$ l'\'ev\'enement :  \og  l'unit\'e de contr\^ole rejette le lecteur MP3 \fg.
\end{itemize} 

\begin{enumerate}
\item Faire un arbre pond\'er\'e sur lequel on indiquera les donn\'ees qui pr\'ec\`edent. 
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'e que le lecteur soit d\'efectueux et ne soit pas rejet\'e. 
\item On dit qu'il y a une erreur de contr\^ole lorsque le lecteur MP3 est rejet\'e alors qu'il n'est pas d\'efectueux, ou qu'il n'est pas rejet\'e alors qu'il est d\'efectueux. 
	
Calculer la probabilit\'e qu'il y ait une erreur de contr\^ole.
\end{enumerate} 
\item  Montrer que la probabilit\'e qu'un lecteur MP3 ne soit pas rejet\'e est \'egale \`a \nombre{0,8942}. 
\item Quatre contr\^oles successifs ind\'ependants sont maintenant r\'ealis\'es pour savoir si un lecteur MP3 peut \^etre commercialis\'e. 

Un lecteur MP3 est :
\begin{itemize}
\item commercialis\'e avec le logo de l'entreprise s'il subit avec succ\`es les quatre contr\^oles successifs, 
\item d\'etruit s'il est rejet\'e au moins deux fois, 
\item commercialis\'e sans le logo sinon.
\end{itemize} 

Le co\^ut de fabrication d'un lecteur MP3 s'\'el\`eve \`a 50~\euro.
  
Son prix de vente est de 120~\euro{} pour un lecteur avec logo et 60~\euro{} pour un lecteur sans logo.
 
On d\'esigne par $G$ la variable al\'eatoire qui, \`a chaque lecteur MP3 fabriqu\'e, associe le gain alg\'ebrique en euros (\'eventuellement n\'egatif) r\'ealis\'e par l'entreprise. 

\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la loi de probabilit\'e de la variable al\'eatoire $G$. 
\item Calculer \`a $10^{-2}$ pr\`es l'esp\'erance math\'ematique de $G$. Donner une interpr\'etation de ce r\'esultat. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}