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\exercice[style=R,N=5,verif]{Une histoire de montres}

Madame Laguigne est tr\`es malchanceuse. Elle a constat\'e que la probabilit\'e pour qu'une montre qu'elle vient d'acheter fonctionne correctement est \'egale \`a 0,7.

De plus, si la montre qu'elle vient d'acheter ne fonctionne pas, la probabilit\'e pour que la montre qu'elle ach\`etera apr\`es fonctionne correctement est \'egale \`a 0,5 alors que si la montre fonctionne bien cette probabilit\'e est \'egale \`a 0,7.

On pose :
\begin{itemize}
\item C$_n$ l'\'ev\'enement : \og la $n$-i\`eme montre fonctionne correctement \fg{} pour un entier $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1 ;
\item $p_n$ la probabilit\'e que C$_n$ se r\'ealise.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Compl\'eter l'arbre de probabilit\'es suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.5]
\node[right] (a1) at (1.5,1) {C$_1$};
\node[right] (a1b) at (1.5,-1) {$\overline{\text{C}_1}$};
\draw (0,0) -- (1.5,1) node[midway,fill=white] {\small ...};
\draw (0,0) -- (1.5,-1) node[midway,fill=white] {\small ...};
\node[right] at (3.5,-0.5) {C$_2$};
\node[right] at (3.5,-1.5) {$\overline{\text{C}_2}$};
\draw (a1b.east) -- (3.5,-0.5) node[midway,fill=white] {\small ...};
\draw (a1b.east) -- (3.5,-1.5) node[midway,fill=white] {\small ...};
\node[right] (a2) at (3.5,1.5) {C$_2$};
\node[right] (a2b) at (3.5,0.5) {$\overline{\text{C}_2}$};
\draw (a1.east) -- (3.5,0.5) node[midway,fill=white] {\small ...};
\draw (a1.east) -- (3.5,1.5) node[midway,fill=white] {\small ...};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Montrer que la probabilit\'e que la deuxi\`eme montre fonctionne est \'egale \`a 0,64.
\item Justifier l'\'egalit\'e suivante :
\[
p_{n+1}=0,2p_n+0,5
\]
\item On pose :
\[
u_n=p_n-0,625.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est une suite g\'eom\'etrique dont on pr\'ecisera la raison et le premier terme.
\item En d\'eduire $p_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer la limite de \suite{p}{n}{} quand $n$ tend vers $+\infty$ et interpr\'eter ce r\'esultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}