
Ici, les ar\^etes repr\'esentent les portes et les sommets, les pi\`eces des maisons.

\medskip

\begin{minipage}[t][][t]{.48\textwidth}
\textbf{Maison 1.} Le graphe est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every node/.style={draw,circle,inner sep=3pt}]
\node (A) at (0,0) {A};
\node (B) at (2,0) {B};
\node (C) at (4,0) {C};
\node (D) at (3,2) {D};
\node (E) at (1,2) {E};
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (A);
\draw (B) -- (E);
\draw (B) -- (D);
\end{tikzpicture}\vskip 4mm
\begin{tabular}{||l|*5{|c}|}
\hline
Sommets & A & B & C & D & E\\
\hline
Degr\'es & 2 & 4 & 2 & 3 & 3\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Le graphe est connexe et tous les sommets, sauf 2, ont un degr\'e pair.\\
Ainsi, d'apr\`es le th\'eor\`eme d'Euler, il existe une cha\^ine eul\'erienne (mais pas de cycle eul\'erien).

\medskip

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle +(6,4);
\draw (0,2) -- (6,2);
\draw (2,0) -- (2,2);
\draw (4,0) -- (4,2);
\draw (3,2) -- (3,4);
\fill[white] (1.9,.75) rectangle+(.2,.5);
\fill[white] (3.9,.75) rectangle+(.2,.5);
\fill[white] (2.9,2.75) rectangle+(.2,.5);
\fill[white] (.75,1.9) rectangle+(.5,.2);
\fill[white] (4.75,1.9) rectangle+(.5,.2);
\fill[white] (2.25,1.9) rectangle+(.5,.2);
\fill[white] (3.25,1.9) rectangle+(.5,.2);
\node[gray] at (1,1) {\Large A};
\node[gray] at (3,1) {\Large B};
\node[gray] at (5,1) {\Large C};
\node[gray] at (1.5,3) {\Large E};
\node[gray] at (4.5,3) {\Large D};
\draw[thick,red,rounded corners={5pt},->,>=stealth'] (1,3) -- (1,1) -- (2.5,1) -- (2.5,3) -- (3.5,3) -- (3.5,1) -- (5,1) -- (5,3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\hspace*{0.04\textwidth}
\begin{minipage}[t][][t]{.48\textwidth}
\textbf{Maison 2.} Le graphe est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[every node/.style={draw,circle,inner sep=3pt}]
\node (A) at (0,0) {A};
\node (B) at (2,0) {B};
\node (C) at (4,0) {C};
\node (D) at (3,2) {D};
\node (E) at (1,2) {E};
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (A);
\draw (B) -- (E) -- (C);
\draw (B) -- (D);
\draw (A) -- (D);
\draw (A.south) to[bend right=60] (C.south);
\draw[yscale=10,xscale=2] (A.west) to[loop left] (A.west);
\draw[yscale=2,xscale=5] (B.south) to[loop below] (B.south);
\draw[yscale=10,xscale=2] (C.east) to[loop right] (C.east);
\draw[yscale=2,xscale=5] (D.north) to[loop above] (D.north);
\draw[yscale=2,xscale=5] (E.north) to[loop above] (E.north);
\end{tikzpicture}\vskip 4mm
\begin{tabular}{||l|*5{|c}|}
\hline
Sommets & A & B & C & D & E\\
\hline
Degr\'es & 5 & 5 & 5 & 5 & 5\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Le graphe est certes connexe, mais n'admet pas 0 ou 2 sommets de degr\'e impair.

Donc d'apr\`es le th\'eor\`eme d'Euler, il n'existe pas de cha\^ine eul\'erienne.
\end{minipage}

\paragraph*{Rappels.}
\begin{itemize}
\item Un graphe est \textit{connexe} si tous ses sommets peuvent \^etre reli\'es par une cha\^ine quelconque.
\item Une \textit{cha\^ine eul\'erienne} est une cha\^ine qui contient une et une seule fois chaque ar\^ete du graphe. 
\item Le th\'eor\`eme d'Euler stipule qu'un graphe admet une cha\^ine eul\'erienne si et seulement si il est connexe et s'il existe 0 ou 2 sommets de degr\'e pair.
\end{itemize}
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