\exercice[style=R,N=5,verif]{Le jeu de Fan Tan (Matrice, longueur d'une cha\^ine)}

Deux joueurs disposent de 2 ou plusieurs tas d'allumettes. \`A tour de r\^ole, chaque joueur peut enlever un certain nombre d'allumettes de l'un des tas (selon la r\`egle choisie). Le joueur qui retire la derni\`ere allumette perd la partie.

\begin{enumerate}
\item Mod\'eliser ce jeu \`a l'aide d'un graphe $\mathcal{G}$ dans le cas o\`u l'on dispose au d\'epart de deux tas contenant chacun trois allumettes et o\`u un joueur peut enlever une ou deux allumettes \`a chaque fois.
\item Soit $c$ une cha\^ine allant du premier sommet au dernier. 

\`A quelle condition sur la longueur de $c$ le premier joueur gagne-t-il la partie ?
\item \'Ecrire la matrice d'adjacence $\mathcal{A}$ de $\mathcal{G}$.
\item \`A l'aide de votre calculatrice, calculer les puissances successives de $\mathcal{A}$ jusqu'\`a prouver qu'il existe bien un \og premier coup gagnant \fg.
\item En observant ce dernier r\'esultat, pouvez-vous dire quel premier coup le joueur doit faire pour \^etre assur\'e de gagner ?
\end{enumerate}