\sectionnn{Graphes probabilistes}

\exercice[style=R,N=3,verif]{Les entreprises de couches culottes}

Deux entreprises A et B se disputent le march\'e innovateur des couches culottes en papier recycl\'e.

Les \'etudes de march\'e ont montr\'ees que d'une ann\'ee \`a l'autre :
\begin{itemize}
\item l'entreprise A perd \pourcent{13} de ses clients au profit de l'entreprise B;
\item l'entreprise B perd \pourcent{15} de ses clients au profit de l'entreprise A.
\end{itemize}
Les autres clients restent fid\`eles \`a leur marque.

\medskip

L'ann\'ee de lancement de ces produits, les deux entreprises avaient chacune d'elles \pourcent{50} du march\'e.

On d\'esigne par $P_n=\begin{pmatrix}a_n & b_n
\end{pmatrix}$ la matrice ligne repr\'esentant la r\'epartition du march\'e sur ces deux entreprises. Ainsi, $P_0=\begin{pmatrix}0,5 & 0,5\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item Construire le graphe probabiliste de cette situation.
\item Donner la matrice de transition de ce graphe.
\item Quelle sera la r\'epartition du march\'e 1 ann\'ee apr\`es le lancement du produit ? Apr\`es 5 ann\'ees ?
\item D\'eterminer l'\'etat stable de ce march\'e, puis interpr\'eter ce r\'esultat.
\end{enumerate}