\exercice[style=R,N=4,verif]{La c\^ote de popularit\'e de Squeezie}

Dans cet exercice, on s'int\'eresse \`a la notori\'et\'e de Squeezie, le youtuber.

Cette ann\'ee, en France, sur l'ensemble des personnes interrog\'ees connaissant le personnage, \pourcent{78} affirmaient qu'ils l'aimaient bien.

Les statistiques montrent que d'une ann\'ee sur l'autre :
\begin{itemize}
\item \pourcent{7} des personnes qui l'aimaient bien ne l'aiment plus ;
\item \pourcent{30} de celles qui ne l'aimaient pas l'aiment bien.
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$, on note :
\begin{itemize}
\item $a_n$ la probabilit\'e qu'une personne aime bien Squeezie dans $n$ ann\'ees ;

\item $P_n=\begin{pmatrix}
a_n & 1-a_n
\end{pmatrix}$ la matrice traduisant l'\'etat probabiliste dans $n$ ann\'ees.
\end{itemize} 

\begin{enumerate}
\item Trouver $P_0$, l'\'etat probabiliste initial.

\item D\'eterminer le graphe probabiliste traduisant la notori\'et\'e de notre ami Squeezie aupr\`es de la population fran\c{c}aise, puis en donner la matrice de transition.

\item Quelle est la probabilit\'e qu'une personne choisie au hasard en France aime Squeezie dans 4 ans ?

\item 
\begin{enumerate}
\item On note $P=\begin{pmatrix}a & 1-a\end{pmatrix}$ l'\'etat stable du graphe.

Montrer que $a = 0,63a+0,3$.

\item \`A longs termes, selon ce mod\`ele math\'ematique, montrer que plus de \pourcent{80} des fran\c{c}ais  aimeront le youtuber.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
