\exercice[style=A,N=3,verif]{Fumeurs et non-fumeurs}

On a divis\'e une population en deux cat\'egories : \og fumeurs \fg{} et \og non-fumeurs \fg.

Une \'etude statistique a permis de constater que, d'une g\'en\'eration \`a l'autre,
\begin{itemize}
\item \pourcent{60} des descendants de fumeurs sont des fumeurs,
\item \pourcent{10} des descendants de non-fumeurs sont des fumeurs.
\end{itemize}
On suppose que le taux de f\'econdit\'e des fumeurs est le m\^eme que celui des non-fumeurs.

On d\'esigne par :
\begin{itemize}
\item $f_n$ le pourcentage de fumeurs \`a la g\'en\'eration de rang $n$,
\item $g_n = 1 - f_n$ le pourcentage de non-fumeurs \`a la g\'en\'eration de rang $n$, o\`u $n$ est un entier naturel.
\end{itemize}
On consid\`ere qu'\`a la g\'en\'eration 0, il y a autant de fumeurs que de non-fumeurs.

On a donc $f_0 = g_0 = 0,5$.

\begin{enumerate}
\item Traduire les donn\'ees de l'\'enonc\'e par un graphe probabiliste.
\item Justifier l'\'egalit\'e matricielle :
\[
\begin{pmatrix}
f_{n+1} & g_{n+1}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
f_n & g_n
\end{pmatrix}\times A,\quad\text{ o\`u $A$ d\'esigne la matrice : }\begin{pmatrix}
0,6 & 0,4\\0,1 & 0,9
\end{pmatrix}.
\]

\item D\'eterminer le pourcentage de fumeurs \`a la g\'en\'eration de rang 2.
\item D\'eterminer l'\'etat probabiliste stable et l'interpr\'eter.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $f_{n+1} = 0,5f_n + 0,1$.
\item On pose, pour tout entier naturel $n$, $u_n = f_n - 0,2$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite \suite{u}{n}{} est une suite g\'eom\'etrique dont on pr\'ecisera le premier terme et la raison.
\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\item En d\'eduire que, pour tout entier naturel $n$, $f_n = 0,3 \times 0,5^n + 0,2$.
\item D\'eterminer la limite de la suite \suite{f}{n}{} lorsque $n$ tend vers $+\infty$ et l'interpr\'eter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}