\exercice[style=R,N=5,verif]{Norman faisait des vid\'eos}

\`A une certaine \'epoque, Norman \'etait un jeune homme  faisant des vid\'eos animali\`eres (FAUX !) et les diffusait sur un c\'el\`ebre r\'eseau social de vid\'eos (logique !).

Nous allons prendre comme r\'ef\'erence la semaine o\`u il a post\'e sa premi\`ere vid\'eo.

Nous allons suppos\'e que, d'une semaine \`a l'autre,
\begin{itemize}
\item la probabilit\'e qu'il poste une nouvelle vid\'eo est \'egale \`a 0,6 s'il a post\'e une vid\'eo la semaine pr\'ec\'edente ;
\item la probabilit\'e qu'il poste une nouvelle vid\'eo est \'egale \`a 0,8 s'il n'a pas post\'e une vid\'eo la semaine pr\'ec\'edente.
\end{itemize}

On note $P_n=\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$, o\`u $a_n$ est la probabilit\'e que Norman ait post\'e une vid\'eo la semaine $n$. 

Ainsi, on a $P_0=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Construire le graphe repr\'esentant la situation.
\item Se sont \'ecoul\'es 6 ans depuis la cr\'eation de sa cha\^ine.

Calculer la probabilit\'e qu'il poste une nouvelle vid\'eo la semaine prochaine si le mod\`ele math\'ematique n'a pas chang\'e depuis le d\'ebut.
\end{enumerate}

\medskip

Le mod\`ele utilis\'e pr\'ec\'edemment est peu cr\'edible en raison du march\'e actuel de la vid\'eo sur Internet. 

Le Pr Mat Reesse propose un nouveau mod\`ele avec pour matrice de transition la matrice suivante :
\[
B_n = \begin{pmatrix}
\e^{-0,5n} & 1-\e^{-0,5n}\\
\e^{-0,5n}\ln(n) & 1-\e^{-0,5n}\ln(n)
\end{pmatrix}
\]
o\`u $n$ est exprim\'e cette fois-ci en \textit{ann\'ee}. On note alors $Q_n=\begin{pmatrix}p_n & q_n\end{pmatrix}$ l'\'etat probabiliste apr\`es $n$ ann\'ees, o\`u $p_n$ est la probabilit\'e que Norman fasse au moins 10 vid\'eos au cours de la $n$-i\`eme ann\'ee, avec $Q_0=P_0$.
\begin{enumerate}[start=3]
\item Justifier que $B_n$ est bien une matrice de transition de graphe probabiliste.

\textit{On pourra s'aider de la calculatrice pour conjecturer certains r\'esutats n\'ecessaires.}
\item 
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de ce nouveau mod\`ele math\'ematique, montrer que $p_{n+1}=\left[\big(1-\ln(n)\big)p_n+\ln(n)\right]\e^{-0,5n}$.
\item \`A l'aide de votre calculatrice, conjecturer la limite de \suite{p}{n}{}.
\item On appelle \og demi-vie \fg{} l'instant o\`u la probabilit\'e est \'egale \`a 0,5.

En vous aidant de cette notion de  \og demi-vie \fg, ce mod\`ele vous semble-t-il cr\'edible ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}