
D'apr\`es l'\'enonc\'e, $A=\begin{pmatrix}
a & 1\\
a+1 & a
\end{pmatrix}$ n'est pas inversible si et seulement si :
\[
a\times a- (a+1)\times1 \neq0
\]
c'est-\`a-dire si et seulement si :
\[
a^2-a-1 \neq0.
\]
Le discriminant du polyn\^ome $a^2+a+1$ est :
\[
\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-1)=5.
\]
Il admet donc deux racines :
\[
a_1=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}\qquad\text{et}\qquad a_2=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}.
\]
\underline{Ainsi, $A$ n'est pas inversible si et seulement si $a=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ ou $a=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$.}