\exercice[style=A,N=4,verif]{Mod\`ele ferm\'e de L\'eontief}

Dans un pays imaginaire, l'\'economie repose sur trois secteurs : industrie, services et \'electricit\'e. Pour pouvoir fonctionner, chaque secteur n\'ecessite l'utilisation d'une partie de la production des deux autres secteurs et d'une partie de sa propre production. 

Ces \'echanges durant une ann\'ee sont r\'esum\'ees dans le tableau des entr\'ees-sorties ci-dessous : 
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|Sc|Sc|}
\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{} &  Industrie & Services & \'Electricit\'e\\
 \hline
Industrie & 0,3 & 0,3 & 0,3 \\
\hline
Services & 0,4  & 0,1 & 0,5  \\
\hline
\'Electricit\'e & 0,3 & 0,6 & 0,2 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center} 

Ce mod\`ele est dit \textit{ferm\'e} car on suppose qu'il n'existe aucun \'echange avec l'ext\'erieur. 

Cette \'economie est dite \textit{\'equilibr\'ee} si la production totale de chaque secteur est \'egale \`a sa consommation totale. 

On se propose de d\'eterminer la production de chaque secteur afin que l'\'economie soit \'equilibr\'ee. 

On note $x$, $y$ et $z$ le nombre d'unit\'es produites respectivement par les secteurs de l'industrie, des services et de l'\'electricit\'e. 

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi l'\'economie est \'equilibr\'ee si et seulement si on a $A \times P = P$, o\`u $A$ est une matrice qu'on explicitera et $P = \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$.

\item Expliquer pourquoi r\'esoudre $A \times P = P$ revient \`a r\'esoudre le syst\`eme suivant :
\[
\systeme[][:]{-0,7x+0,3y+0,3z=0:0,4x-0,9y+0,5z=0:0,3x+0,6y-0,8z=0}
\] 
\item Le logiciel Xcas affiche ceci lorsqu'on lui demande de r\'esoudre ce dernier systeme :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\ttfamily}X|}
\hline
insolve([-0.7x+0.3y+0.3z=0,0.4x-0.9y+0.5z=0,0.3x+0.6y-0.8z=0],[x,y,z]) \\
\hline
[0.823529411765*z , 0.921568627451*z , z] \\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

Expliquer cet affichage.

\item Pour une production de \numprint{10000} unit\'es d'\'electricit\'e, combien les secteurs de l'industrie et des services doivent-ils produire d'unit\'es pour que l'\'economie soit \'equilibr\'ee (on arrondira \`a l'unit\'e) ? 

\end{enumerate}