\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\begin{aligned}[t]
C_1 & =C_0\times\left(1+\dfrac{2,5}{100}\right)\\
& = \numprint{3000}\times1,025\\
\Aboxed{C_1 & = \numprint{3075}}
\end{aligned}$

\columnbreak

$\begin{aligned}[t]
C_2 & =C_1\times\left(1+\dfrac{2,5}{100}\right)\\
& = \numprint{3075}\times1,025\\
\Aboxed{C_2 & = \numprint{3151,88}}
\end{aligned}$
\end{multicols}

\item Le capital \`a l'ann\'ee $(n+1)$ est obtenu en ajoutant \pourcent{2,5} du capital pr\'ec\'edent, soit \pourcent{2,5} de $C_n$.

On doit donc multiplier $C_n$ par $\left(1+\dfrac{2,5}{100}\right)$. D'o\`u la relation de r\'ecurrence :

\[ \boxed{C_{n+1}=C_n\times1,025}\]

De cette relation, on d\'eduit que la suite \suite{C}{n} {} est g\'eom\'etrique de raison $q=1,025$ et de premier terme $C_0=\numprint{3000}$. Donc, d'apr\`es la formule du cours 
\begin{align*}
C_n & = C_0 \times q^n\\
\Aboxed{C_n & = \numprint{3000}\times1,025^n}
\end{align*}

\item 
\begin{enumerate}
\item \raisebox{-6mm}{%
\begin{tabular}{|Sl|*5{c|}}
\hline
Valeur de $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline
Valeur de $U$ & \numprint{3000} & \numprint{3075} & \numprint{3152} & \numprint{3231} & \numprint{3311}\\
\hline
Condition $U\leqslant S$ & vrai & vrai & vrai & vrai & faux \\
\hline
\end{tabular}}

\item L'algorithme affiche donc, pour $S=\numprint{3300}$, la valeur 2004 car $n=4$ est la premi\`ere valeur de $n$ pour laquelle $C$ est strictement sup\'erieur \`a \numprint{3300}.

\item Dans le contexte de cet exercice, l'algorithme affiche l'ann\'ee \`a partir de laquelle le capital plac\'e sera strictement sup\'erieur \`a la valeur $S$ donn\'ee.
\end{enumerate}

\item D'apr\`es la formule donn\'ee \`a la question 2, 
\[ C_{13}=\numprint{3000}\times1,025^{13}\approx\numprint{4135,53}.\]
Ainsi, avec un capital initial de \numprint{3000}~\euro, le capital en 2013 est d'environ \numprint{4135,53}~\euro, et non \numprint{5000}~\euro{} comme souhait\'e.

Le capital initial n'est donc pas suffisant.

\item On souhaite trouver $n$ tel que :
\[ C_n \geqslant 10C_0\;,\]
c'est-\`a-dire:
\[ C_0\times1,025^n \geqslant 10C_0\;,\]
soit, en simplifiant pat $C_0$ :
\[ 1,025^n\geqslant10.\]
En prenant le logarithme n\'ep\'erien des deux membres, on obtient :
\begin{align*}
& \ln\left(1,025^n\right) \geqslant \ln 10\\
\Leftrightarrow\ & n\ln(1,025)\geqslant\ln10\\
\Leftrightarrow\ & n\geqslant\dfrac{\ln10}{\ln1,025}\\
\Leftrightarrow\ & n \geqslant 93,25
\end{align*}

\uline{Ainsi, \`a partir du 1\ier{} janvier 2094, le client pourrait avoir son capital initial multipli\'e par 10.}
\end{enumerate}