\exercice[style=R,N=3,verif]{Suite g\'eom\'etrique (Pondich\'ery 2013)}

Le 1\ier{} janvier 2000, un client a plac\'e \numprint{3000} \euro{} \`a int\'er\^ets compos\'es au taux annuel de \pourcent{2,5}.\\
On note C$_n$ le capital du client au 1\ier{} janvier de l'ann\'ee $2000+n$, o\`u $n$ est un entier naturel.
\begin{enumerate}
\item Calculer C$_1$ et C$_2$. Arrondir les r\'esultats au centime d'euro.
\item Exprimer C$_{n+1}$ en fonction de C$_n$. En d\'eduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a la relation :
\[ \text{C}_n=\numprint{3000}\times1,025^n.\]
\newpage
\item On donne l'algorithme suivant :

\def\colorAlgoBox{LightSkyBlue} 
\def\colorAlgoLine{LightSkyBlue} 
\def\colorAlgoTitle{MidnightBlue} 
\begin{algo}{}
\begin{algoentries}
Saisir un nombre S sup\'erieur \`a \numprint{3000}
\end{algoentries}
\begin{algobody}
Affecter \`a $n$ la valeur 0. \emph{Initialisation}\\
Affecter \`a U la valeur \numprint{3000}. \emph{Initialisation}
\begin{algowhile}{U$\leqslant$S}
$n$ prend la valeur $n+1$\\
U prend la valeur U$\times1,025$
\end{algowhile}
\end{algobody}
\begin{algoend}
Afficher le nombre $\numprint{2000}+n$
\end{algoend}
\end{algo}

\begin{enumerate}
\item Pour la valeur $S=\numprint{3300}$ saisie, recopier et compl\'eter autant que n\'ecessaire le tableau suivant. Les r\'esultats seront arrondis \`a l'unit\'e.

\medskip

\arrayrulecolor{black}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|Sl|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Valeur de $n$ & 0 & 1 & $\cdots$ & \\
\hline
Valeur de $U$ & \numprint{3000} & & & \\
\hline
Condition $U\leqslant S$ & vrai & & &\\
\hline
\end{tabularx}

\item En d\'eduire l'affichage obtenu quand la valeur de $S$ saisie est \numprint{3300}.
\item Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpr\'eter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $S$ sup\'erieur \`a \numprint{3000}.
\end{enumerate}

\item Au 1\ier{} janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de \numprint{5000} \euro. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant \`a cette date.

\item D\'eterminer, en d\'etaillant la m\'ethode, \`a partir du 1\ier{}
janvier de quelle ann\'ee le client pourrait avoir son capital initial multipli\'e par 10.
\end{enumerate}