\partie{A}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on a : $v_n=u_n-12$ donc, au rang $n+1$, on a :
\begin{align*}
v_{n+1} & = \textcolor{red}{u_{n+1}}-12\\
& = \textcolor{red}{0,9u_n+1,2}-12\\
& = 0,9u_n-10,8\\
& = 0,9\left(u_n-\dfrac{10,8}{0,9}\right)\qquad\text{(on a factoris\'e par }0,9)\\
& = 0,9(\textcolor{blue}{u_n-12})\\
& = 0,9\textcolor{blue}{v_n}.
\end{align*}

Ainsi, $v_{n+1}=0,9v_n$, ce qui signifie que \suite{v}{n}{} est une suite g\'eom\'etrique de raison $q=0,9$ et de premier terme :
\[ v_0=u_0-12=10-12=-2.\]

\item D'apr\`es la formule du cours, la suite \suite{v}{n}{} \'etant g\'eom\'etrique de raison $q=0,9$, on a :
\begin{align*}
v_n & = v_0\times q^n\\
\Aboxed{v_n & = -2\times 0,9^n}
\end{align*}

\item On sait que :
\[ v_n=u_n-12\]
donc :
\begin{align*}
u_n & = v_n+12\\
u_n & = -2\times0,9^n+12\\
\Aboxed{u_n & = 12-2\times0,9^n}
\end{align*}
\end{enumerate}

\item \suite{v}{n}{} est une suite g\'eom\'etrique dont la raison est strictement comprise entre 0 et 1. Donc,
\[ \boxed{\limite{n}{+\infty}{v_n}=0}\]

On en d\'eduit alors :
\[ \boxed{\limite{n}{+\infty}{u_n}=12}\]
\end{enumerate}

\partie{B}
\begin{enumerate}
\item Si $u_n$ d\'esigne le nombre de milliers d'habitants de la ville en $2012+n$, alors :

\begin{itemize}
\item \og \pourcent{10} des habitants de la ville meurent ou d\'em\'enagent dans une autre ville \fg{} signifie qu'il reste \pourcent{90} des habitants d'une ann\'ee sur l'autre, donc :
\[ u_{n+1}=0,9u_n\]
\item \og \numprint{1200} personnes naissent ou emm\'enagent dans cette ville \fg{} signifie que 1,2 millier d'habitant sont \`a ajouter, d'o\`u :
\[ u_{n+1}=0,9u_n+1,2.\]
\end{itemize}

\item \raisebox{-13em}{\begin{algo*}{compl\'et\'e}
\begin{algoentries}
a prend la valeur 10\\
Choisir n
\end{algoentries}
\begin{algobody}
\begin{algofor}{i}{1}{n}
a prend la valeur {\color{red}{0,9$\times$a+12}}
\end{algofor}
\end{algobody}
\begin{algoend}
Afficher a
\end{algoend}
\end{algo*}}

\item 
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
12-2\times0,9^n>11,5 & \iff -2\times0,9^n>-0,5\\
& \iff 0,9^n<\dfrac{-0,5}{-2}\\
& \iff 0,9^n<0,25\\
& \iff \ln\left(0,9^n\right)<\ln(0,25)\\
& \iff n\ln(0,9)<\ln(0,25)\\
& \iff n>\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,9)}\qquad\text{car }\ln(0,9)<0\\
\Aboxed{12-2\times0,9^n>11,5&\iff n > 13,2}
\end{aligned}$

\medskip

\item R\'esoudre l'in\'equation $12-2\times0,9^n>11,5$ revient \`a chercher les valeurs de $n$ telles que la population de Bellecit\'e est strictement sup\'erieure \`a \numprint{11500}.

\uline{Le r\'esultat pr\'ec\'edent montre que courant 2025, cette population d\'epassera \numprint{11500} habitants.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}