\sectionnn{Suites arithm\'etico-g\'eom\'etriques}

\exercice[style=R,N=4,verif]{Suite arithm\'etico-g\'eom\'etrique (Liban 2013)}

\partie{A}

On consid\`ere la suite \suite{u}{n}{} d\'efinie par $u_0=10$ et pour tout entier naturel $n$,
\[ u_{n+1}=0,9u_n+1,2.\]
\begin{enumerate}
\item On consid\`ere la suite \suite{v}{n}{} d\'efinie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-12$.
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que la suite \suite{v}{n}{} est une suite g\'eom\'etrique dont on pr\'ecisera le premier terme et la raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En d\'eduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=12-2\times0,9^n$.
\end{enumerate}
\item D\'eterminer la limite de la suite \suite{v}{n}{} et en d\'eduire celle de la suite \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}

\partie{B}

En 2012, la ville de Bellecit\'e compte 10 milliers d'habitants. Les \'etudes d\'emographiques sur les derni\`eres ann\'ees ont montr\'e que chaque ann\'ee :

\begin{itemize}
\item \pourcent{10} des habitants de la ville meurent ou d\'em\'enagent dans une autre ville;
\item \numprint{1200} personnes naissent ou emm\'enagent dans cette ville.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Montrer que cette situation peut \^etre mod\'elis\'ee par la suite
\suite{u}{n}{} o\`u $u_n$ d\'esigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecit\'e l'ann\'ee $2012+n$.
\item \begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}
Un institut statistique d\'ecide d'utiliser un algorithme pour pr\'evoir la population de la ville de Bellecit\'e dans les ann\'ees \`a venir.\\
Recopier et compl\'eter l'algorithme\linebreak ci-contre pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecit\'e l'ann\'ee $2012+n$.
\end{minipage}
\hspace*{0.07\linewidth}
\raisebox{3mm}{%
\begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}
\begin{algo*}{}
\begin{algoentries}
a prend la valeur 10\\
Choisir n
\end{algoentries}
\begin{algobody}
\begin{algofor}{i}{1}{n}
a prend la valeur $\ldots$
\end{algofor}
\end{algobody}
\begin{algoend}
Afficher a
\end{algoend}
\end{algo*}
\end{minipage}}

\item
\begin{enumerate}
\item R\'esoudre l'in\'equation $12-2\times0,9^n>11,5$.
\item En donner une interpr\'etation.
\end{enumerate}
\end{enumerate}