\begin{enumerate}
\item Notons $t$ le taux annuel moyen des montants \`a l'exportation des produits perliers de Polyn\'esie entre 2008 et 2011. Alors, nous devons avoir : $\numprint{63182}\approx\numprint{81295}\times(1+t)^3$ car il y a eu 3 \'evolutions successives entre 2008 et 2011.

Calculons alors le membre de droite lorsque $t=-0,0806$ :
\begin{align*}
\numprint{81295}\times(1-0,0806)^3 & \approx \numprint{81295}\times(\numprint{0,9194})^3\\
& \approx \numprint{81295}\times\numprint{0,777165473}\\
& \approx \numprint{63180}.
\end{align*}

On peut donc estimer que $t=-\pourcent{8}$ est le taux annuel moyen cherch\'e.

\begin{tikzpicture}
\node[fill=yellow!10,draw, decorate, decoration={ random steps, segment length=3pt,amplitude=1pt}] {
\begin{minipage}{0.95\linewidth}
\paragraph*{Autre m\'ethode (avec la fonction exponentielle):} on peut partir de l'\'equation :
\[
\numprint{63182}\approx\numprint{81295}\times(1+t)^3
\]
et chercher $t$ :
\begin{align*}
\numprint{63182}\approx\numprint{81295}\times(1+t)^3 & \iff \dfrac{\numprint{63182}}{\numprint{81295}}=(1+t)^3\\
& \iff \ln\left(\dfrac{\numprint{63182}}{\numprint{81295}}\right)=\ln\left[(1+t)^3\right]\\
& \iff -\numprint{0,252065064}\approx 3\ln(1+t)\\
& \iff -\numprint{0,084021688}\approx
ln(1+t)\\
& \iff \e^{-\numprint{0,084021688}}\approx 1+t\\
& \iff t \approx \e^{-\numprint{0,084021688}}-1\\
& \iff t \approx -\numprint{0,080588684}\\
& \iff t\approx-0,0806
\end{align*}

Cette m\'ethode est plus pr\'ecise.
\end{minipage}};
\end{tikzpicture}

\item \og \texttt{P} \fg{} intervient uniquement dans la condition du \og \texttt{Tant que} \fg{} donc on voit que l'on ex\'ecute la boucle tant que la valeur calcul\'ee \texttt{U} est strictement sup\'erieure \`a \texttt{P}.

On peut faire un tableau des diff\'erentes valeurs de \texttt{U} calcul\'ees jusqu'\`a ce que la condition ne soit plus remplie :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|Sl|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
N & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
U & \numprint{63182} & \numprint{58127,44} & \numprint{53477,24} & \numprint{49199,07}\\
\hline
U$>$P & vrai & vrai & vrai  & faux\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

L'algorithme affiche donc la valeur \og 3 \fg.

Cela signifie qu'\`a partir de 2014 (i.e. $2011+3$), la production est inf\'erieure \`a \numprint{50000} milliers d'euros.

\item
\begin{enumerate}
\item Par d\'efinition, $u_{n+1}=0,92u_n$ car il y a une perte de \pourcent{8} par an.

Donc \suite{u}{n}{} est g\'eom\'etrique de raison $q=0,92$ et de premier terme $u_0=\numprint{63182}$.

\item D'apr\`es le cours, on a :
\[ u_n=u_0\times q^n=\numprint{63182}\times0,92^n.\]

\item En 2016, $n=5$ et :
\[ u_5=\numprint{63182}\times0,92^5\approx\numprint{41642}.\]
\uline{On peut donc pr\'evoir \numprint{41642} milliers d'euros de production en 2016.}
\end{enumerate}

\item On cherche ici :
\begin{align*}
u_0+u_1+\cdots+u_9 & = u_0\times\dfrac{1-q^{10}}{1-q}\\
& = \numprint{63182}\times\dfrac{1-0,92^{10}}{1-0,92}\\
& \approx \numprint{446706}.
\end{align*}

\uline{Le montant cumul\'e des produits perliers export\'es de 2011 \`a 2020 est estim\'e \`a \numprint{446706}~\euro.}
\end{enumerate}