\exercice[style=R,N=4,verif]{Suite g\'eom\'etrique (Polyn\'esie 2013)}

La production des perles de culture de Tahiti est une activit\'e \'economique importante pour la Polyn\'esie Fran\c{c}aise.

Les montants r\'ealis\'es \`a l'exportation des produits perliers de 2008 \`a 2011 sont donn\'es dans le tableau suivant, en milliers d'euros.

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\begin{tabularx}{\linewidth}{|Sl|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Ann\'ees & 2008 & 2009 & 2010 & 2011\\
\hline
Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d'euros) & \numprint{81295} & \numprint{66052} & \numprint{64690} & \numprint{63182}\\
\hline
\end{tabularx}
\begin{flushright}
\small Source : ISPF (Institut de Statistiques de Polyn\'esie Fran\c{c}aise)
\end{flushright}

\begin{enumerate}
\item Montrer que le taux d'\'evolution annuel moyen des montants \`a l'exportation des produits perliers de Polyn\'esie entre 2008 et 2011 est $-\pourcent{8,06}$ arrondi au centi\`eme.
\end{enumerate}

\medskip

\textit{On admet pour la suite de l'exercice, que la production continuera \`a baisser de \pourcent{8} par an \`a partir de 2011.}

\newpage

\begin{enumerate}[start=2]
\item On consid\`ere l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{algo}{}
\begin{algoentries}
Saisir un nombre positif P
\end{algoentries}
\begin{algobody}
Affecter la valeur 0 \`a la variable N \textit{(Initialisation)}\\
Affecter la valeur \numprint{63182} \`a U \textit{(Initialisation)}
\begin{algowhile}{U > P}
Affecter la valeur N+1 \`a N\\
Affecter la valeur 0,92$\times$U \`a U
\end{algowhile}\\
Affecter la valeur N+2011 \`a N
\end{algobody}
\begin{algoend}
Afficher N
\end{algoend}
\end{algo}

Si on saisit $\text{P}=\numprint{50000}$ en entr\'ee, qu'obtient-on en sortie par cet algorithme ? Interpr\'eter ce r\'esultat dans le contexte de la production de perles.

\item Pour pr\'evoir les montants r\'ealis\'es \`a l'exportation des perles de Tahiti, on mod\'elise la situation par une suite \suite{u}{n}{}. On note $u_0$ le montant en 2011, en milliers d'euros, et $u_n$ le montant en $2011+n$, en milliers d'euros. On a donc $u_0=\numprint{63182}$ et on suppose que la valeur baisse tous les ans de \pourcent{8}.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est une suite g\'eom\'etrique dont on pr\'ecisera la raison.
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
\item Avec ce mod\`ele, quel montant peut-on pr\'evoir pour l'exportation des produits perliers de Polyn\'esie Fran\c{c}aise en 2016 ? On arrondira le r\'esultat au millier d'euros.
\end{enumerate}

\item Calculer le montant cumul\'e des produits perliers export\'es que l'on peut pr\'evoir avec ce mod\`ele \`a partir de 2011 (comprise) jusqu'\`a 2020 (comprise). On donnera une valeur approch\'ee au millier d'euros.
\end{enumerate}
