\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
a_{n+1} & =0,85a_n+0,2b_n\\
& =0,85a_n+0,2(\numprint{5000}-a_n)\quad \text{(car $a_n+b_n=\numprint{5000}$)}\\
& =0,85a_n+\numprint{1000}-0,2a_n\\
\Aboxed{a_{n+1}& = 0,65a_n+\numprint{1000}}
\end{aligned}$

\medskip

\item 
\begin{enumerate}
\item $u_n=a_n-\dfrac{\numprint{20000}}{7}$ donc :

$\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & = a_{n+1} - \frac{\numprint{20000}}{7}\\
& = 0,65a_n+\numprint{1000}-\frac{\numprint{20000}}{7}\\
& = 0,65a_n+\frac{\numprint{7000}}{7}-\frac{\numprint{20000}}{7}\\
& = 0,65a_n-\frac{\numprint{13000}}{7}\\
& = 0,65\left(a_n-\frac{\numprint{13000}}{7}\times\frac{1}{0,65}\right)\\
& = 0,65\left(a_n-\frac{\numprint{20000}}{7}\right)\quad \text{(la calculatrice est ton amie ici !)}\\
& = 0,65u_n.
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, $(u_n)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison 0,65.}

\medskip

On peut aussi pr\'eciser que :
\begin{align*}
u_0 & =a_0-\dfrac{\numprint{20000}}{7}\\
& =\numprint{3000}-\dfrac{\numprint{20000}}{7}\\
& =\dfrac{\numprint{21000}}{7}-\dfrac{\numprint{20000}}{7}\\
\Aboxed{u_0& =\dfrac{\numprint{1000}}{7}}
\end{align*}

\item D'apr\`es la formule du cours, si $q$ d\'esigne la raison de la suite g\'eom\'etrique, on a :

$\begin{aligned}[t]
u_n & = u_0\times q^n\\
\Aboxed{u_n& = \dfrac{\numprint{1000}}{7}\times (0,65)^n}
\end{aligned}$
\end{enumerate}

\item $0,65 < 1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n =0$. 

Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(a_n-\dfrac{\numprint{20000}}{7}\right)=0$, ce qui signifie que $\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=\dfrac{\numprint{20000}}{7}}$.

De plus, $b_n=\numprint{5000}-a_n$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} b_n=\numprint{5000}-\dfrac{\numprint{20000}}{7}$, soit $\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty} b_n=\dfrac{\numprint{15000}}{7}}$.\\[6pt]
\uline{Cela signifie qu'\`a longs termes, le groupe A comportera environ \numprint{2857} personnes et le groupe B, \numprint{2143}.}
\end{enumerate}