\exercice[style=R,N=4,verif]{Dans une association}

En 2010, une association comptait \numprint{5000} membres.

Dans cette association, il y a deux groupes nomm\'es A et B. En 2010, le groupe A comptait \numprint{3000} personnes et le groupe B, \numprint{2000} personnes.
On estime que d'une ann\'ee \`a l'autre :
\begin{itemize}
\item \pourcent{15} des membres du groupe A vont dans le groupe B ;
\item \pourcent{20} des membres du groupe B vont dans le groupe A.
\end{itemize}
On suppose que l'association refuse toute nouvelle adh\'esion ext\'erieure. Ainsi, le nombre de membres reste \`a \numprint{5000} chaque ann\'ee.

On note \suite{a}{n}{} la suite repr\'esentant le nombre d'adh\'erents dans le groupe A et \suite{b}{n}{} le nombre d'adh\'erents dans le groupe B l'ann\'ee $2010+n$. Ainsi, $a_0=\numprint{3000}$ et $b_0=\numprint{2000}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=0,65a_n+\numprint{1000}$.
\item On pose $u_n=a_n-\dfrac{\numprint{20000}}{7}$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est g\'eom\'etrique. Pr\'eciser alors sa raison et son premier terme.
\item En d\'eduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item D\'eterminer alors $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n$, puis $\lim\limits_{n\to +\infty} b_n$. Donner une interpr\'etation de ces r\'esultats.
\end{enumerate}