\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]0,9x+\text{K}=x & \iff 0,1x=\text{K}\\ & \iff \underline{x = 10\text{K}}\end{aligned}$
\item $x=500 \iff -10\text{K} = 500 \iff \uline{K=50}$
\item Cette derni\`ere valeur signifie que l'on doit introduire chaque ann\'ee 50 cabris pour que\linebreak l'effectif des cabris reste constant.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item On sait que d'une ann\'ee sur l'autre, l'effectif baisse de \pourcent{10}, donc il reste \pourcent{90} de cabris (d'o\`u la pr\'esence du 0,9 devant $p_n$).

Mais on sait aussi que l'on ajoute 50 cabris chaque ann\'ee, d'o\`u l'ajout de 50.
\item $\begin{aligned}[t]
t_{n+1} & =p_{n+1}-500\\
        & =0,9p_n+50-500\\
        & =0,9p_n-450\\
        & =0,9\left(p_n-\dfrac{450}{0,9}\right)\\
		& = 0,9(p_n-500)\\
        & =0,9t_n.
\end{aligned}$

Ainsi, la suite \suite{t}{n}{n\geqslant0} est une suite g\'eom\'etrique de raison 0,9 et de premier terme :
\[ 
t_0=p_0-500=\numprint{1000}-500=500.
\]
Donc, $t_n=t_0\times (0,9)^n$, soit \uline{$t_n=500\times(0,9)^n$} pour tout entier naturel $n$.

\item On sait que :
\[
t_n=p_n-500\;,
\]
donc :
\[
p_n=t_n+500 =500\times(0,9)^n+500.
\]
Ainsi, \uline{$p_n=500\left[(0,9)^n+1\right]$, pour tout entier naturel $n$}.

\medskip

Donc $\boxed{p_{10}=500\left[(0,9)^{10}+1\right]\approx 674}$
\end{enumerate}

\item Si $p_0=100$, alors 
\[
t_0=100-500=-400
\] 
et donc
\[
t_n=-400\times(0,9)^n.
\]
Alors,
\[
p_n=-400\times(0,9)^n+500.
\]
Ainsi, 
\[
\boxed{p_{10}=-400\times(0,9)^{10}+500\approx 360}
\]
\end{enumerate}
