\exercice[style=R,N=5,verif]{Les cabris, c'est fini ?}

Dans une r\'eserve, on a constat\'e une diminution annuelle constante de \pourcent{10} de l'effectif des cabris.

Pour sauvegarder l'esp\`ece, on d\'ecide d'introduire chaque ann\'ee un nombre fixe K de ces cabris.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item R\'esoudre l'\'equation : $0,9x + \text{K} = x$. On exprimera la solution $x$ en fonction de K.
\item Choisir K de fa\c{c}on \`a ce que le nombre $x$ trouv\'e pr\'ec\'edemment soit \'egal \`a 500.
\item Donner une interpr\'etation du r\'esultat obtenu en b) concernant la population des cabris.
\end{enumerate}

\item  \`A partir de cette question, on prend $\rm K=50$.

On note $p_n$ le nombre de cabris apr\`es $n$ ann\'ees du plan de sauvegarde (qui consiste donc \`a introduire 50 cabris par an).

On consid\`ere que la population initiale des cabris est $p_0=\numprint{1000}$.
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi on a : $p_{n+1}=0,9p_n+50$.
\item On consid\`ere la suite \suite{t}{n}{n\geqslant0} d\'efinie par : $t_n = p_n-500$ pour tout entier naturel $n$.

V\'erifier que la suite \suite{t}{n}{n\geqslant0} est g\'eom\'etrique de raison $q = 0,9$.

Calculer $t_0$. En d\'eduire l'expression de $t_n$ en fonction de $n$.
\item En d\'eduire l'expression de $p_n$ en fonction de $n$. D\'eterminer une valeur approch\'ee de $p_{10}$.
\end{enumerate}

\item On prend toujours $\rm K=50$ ; on note encore $p_n$ le nombre de cabris apr\`es $n$ ann\'ees.

On consid\`ere cette fois que la population initiale des cabris est de 100.

En expliquant votre raisonnement, d\'eterminer une valeur approch\'ee de $p_{10}$ dans ce cas.
\end{enumerate}